【正文】 Ai ) = 3 3 = ＋ ＋ 7 4 P( A1 | B) = 1 ? P( A1 | B) = 7 42. 某人外出可以乘坐飛機(jī)、 火車、 輪船、 汽車 4 種交通工具， 其概率分別為 5％， 15％，30％，50％，乘坐這幾種交通工具能如期到達(dá)的概率依次為 100％， 70％，60％與 90％，已知該旅行者誤期到達(dá)，求他是乘坐火車的概率. 解 設(shè)事件 A1，A2，A3，A4 分別表示外出人“乘坐飛機(jī)”“乘坐火車”“乘坐輪 ， ， 船”“乘坐汽車” B 表示“外出人如期到達(dá)”. ， ， P( A2 | B) = P( A2 ) P( B | A2 ) ∑ P( Ai ) P( B | Ai ) i =1 4 = 0 + + + = 43. 接 39 題，若第二次取到的是 1 號(hào)球，計(jì)算它恰好取自Ⅰ號(hào)袋的概率. 解 39 題計(jì)算知 P(B1)＝ 1 ，應(yīng)用貝葉斯公式 2 1 1 P( A1 ) P( B1 | A1 ) 2 2 1 P( A1 | B1 ) = = = 1 P( B1 ) 2 2 44. 一箱產(chǎn)品 100 件，其次品個(gè)數(shù)從 0 到 2 是等可能的，開(kāi)箱檢驗(yàn)時(shí)，從中隨 機(jī)地抽取 10 件，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收，若已 9 知該箱產(chǎn)品已通過(guò)驗(yàn)收，求其中確實(shí)沒(méi)有次品的概率. 解 設(shè)事件 Ai 表示一箱中有 i 件次品，i＝0, 1, 2. B 表示“抽取的 10 件中無(wú) 次品” ，先計(jì)算 P ( B ) 10 10 2 1 C99 C98 P ( B ) = ∑ P ( Ai ) P ( B | Ai ) = (1 + 10 + 10 ) i =0 3 C100 C100 1 P( A0 | B) = = 3P ( B ) 45. 設(shè)一條昆蟲(chóng)生產(chǎn) n 個(gè)卵的概率為 pn = λn n! e ?λ n=0, 1, 2, … 其中 λ＞0，又設(shè)一個(gè)蟲(chóng)卵能孵化為昆蟲(chóng)的概率等于 p(0＜p＜1). 如果卵的 孵化是相互獨(dú)立的，問(wèn)此蟲(chóng)的下一代有 k 條蟲(chóng)的概率是多少? 解 設(shè)事件 An＝“一個(gè)蟲(chóng)產(chǎn)下幾個(gè)卵” n＝0，1，2….BR＝“該蟲(chóng)下一代有 k 條 ， 蟲(chóng)” k＝0，1，….依題意 ， P( An ) = pn = λn n! e ?λ 0 ? P( Bk | An ) = ? k k n?k ?Cn p q ∞ k＞n 0≤k ≤n ∞ 其中 q=1－p. 應(yīng)用全概率公式有 P( Bk ) = ∑ P ( An ) P( Bk | An ) = ∑ P( An ) P( Bk | An ) n =0 n=k ∞ =∑ n=l n! λ ?λ e p k q n?k n! k !( n ? k ) ! n (λp ) k ?λ ∞ (λq) n? k e ∑ k! n= k (n ? k ) ! 由于 ∑ (λq) ∞ (λ q ) n ? k = e λq ，所以有 n = k ( n ? k ) ! n ? k =0 ( n ? k ) ! = n?k ∑ ∞ P( Bk ) = ( λ p ) k ? λ λq ( λ p ) p ? λp e e = e k! k k = 0, 1, 2,L 10 習(xí) 題 二 1. 已知隨機(jī)變量 X 服從 0－1 分布，并且 P{X≤0}＝，求 X 的概率分布. 解 X 只取 0 與 1 兩個(gè)值， {X＝0}＝P{X≤0}－P{X＜0}＝， {X＝1}＝1－P{X P P ＝0}＝. 2. 一箱產(chǎn)品 20 件，其中有 5 件優(yōu)質(zhì)品，不放回地抽取，每次一件，共抽取兩 次，求取到的優(yōu)質(zhì)品件數(shù) X 的概率分布. 解 X 可以取 0, 1, 2 三個(gè)值. 由古典概型公式可知 C m C 2? m P { X = m } = 5 215 (m = 0, 1, 2) C20 依次計(jì)算得 X 的概率分布如下表所示： X P 0 21 38 1 15 38 2 2 38 3. 上題中若采用重復(fù)抽取，其他條件不變，設(shè)抽取的兩件產(chǎn)品中，優(yōu)質(zhì)品為 X 件，求隨機(jī)變量 X 的概率分布. 解 X 的取值仍是 0, 1, 1/4，取到非優(yōu)質(zhì) 品的概率是 3/4,且各次抽取結(jié)果互不影響，應(yīng)用伯努利公式有 9 ?3? P{X = 0} = ? ? = 4 ? 16 ? 6 1 ? 1 ?? 3 ? P { X = 1 } = C 2 ? ?? ? = 4 ?? 4 ? 16 ? 1 ?1? P { X = 2 }= ? ? = 4 ? 16 ? 2 2 4. 第 2 題中若改為重復(fù)抽取，每次一件，直到取得優(yōu)質(zhì)品為止，求抽取次數(shù) X 的概率分布. 解 X 可以取 1, 2, …可列個(gè)值. 且事件{X = n}表示抽取 n 次，前 n－1 次均 未取到優(yōu)質(zhì)品且第 n 次取到優(yōu)質(zhì)品，其概率為 ? 3 ? ? 1 . 因此 X 的概率分布為 ? ? n ?1 ?4? 4 1?3? P {X = n } = ? ? 4?4? n ?1 n = 1, 2, … 5. 盒內(nèi)有 12 個(gè)乒乓球，其中 9 個(gè)是新球，3 個(gè)為舊球，采取不放回抽取，每次 一個(gè)直到取得新球?yàn)橹?，求下列隨機(jī)變量的概率分布. (1)抽取次數(shù) X； (2)取到的舊球個(gè)數(shù) Y . 解 (1)X 可以取 1, 2, 3, 4 各值. 3 3 9 9 P { X =1 }= P {X = 2 } = = 4 12 11 3 2 9 9 P { X = 3 }= = 12 11 10 220 44 11 P { X = 4 }= 3 2 1 9 1 = 12 11 10 9 220 (2) Y 可以取 0, 1, 2, 3 各值 . 3 P {Y = 0 }= P { X =1 }= 4 9 P {Y =1 }= P { X = 2 }= 44 9 P {Y = 2 }= P { X = 3 }= 220 1 P {Y = 3 }= P { X = 4 }= 220 6. 上題盒中球的組成不變， 若一次取出 3 個(gè)， 求取到的新球數(shù)目 X 的概率分布. 解 X 可以取 0, 1, 2, 3 各值. C33 1 P {X = 0 } = 3 = C12 1 9 220 P {X = 1 } = P {X = 2 } = P {X = 3 } = CC 27 = 3 C12 220 1 C92C3 108 = 3 220 C12 3 C9 84 = 3 C12 220 2 3 7. 已知 P{X＝n}＝pn，n＝1, 2, 3, …, 求 p 的值. ∞ 解 根據(jù) ∑ P { X = n }＝1 , 有 n =1 1 = ∑ Pn = n=1 ∞ p 1? p 解上面關(guān)于 p 的方程，得 p＝. 8. 已知 P{X＝n}=pn， n＝2, 4, 6, …，求 p 的值. 2 解 p2 + p4 + p6 + … = p 2 = 1 1? p 解方程，得 p= 177。 2 /2 9. 已知 P{X＝n}=, n=1, 2, …, 100, 求 c 的值. 100 解 1 = ∑ = c ( 1 + 2 + … + 100 ) ＝5050 c n =1 解得 c＝1/5050 . 10. 如果 pn＝＿2，n=1, 2, …, 問(wèn)它是否能成為一個(gè)離散型概率分布，為什么? ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 解 ∑ pn = c ∑ 12 , 由于級(jí)數(shù) ∑ 12 收斂, 若記 ∑ 12 =a,只要取 c = 1 , 則有 ∑ pn =1, 且 n =1 n=1 n n =1 n n =1 n a n =1 pn＞0. 所以它可以是一個(gè)離散型概率分布. 11. 隨機(jī)變量 X 只取 1, 2, 3 共三個(gè)值，其取各個(gè)值的概率均大于零且不相等 并又組成等差數(shù)列，求 X 的概率分布. 解 設(shè) P{X＝2}＝a，P{X＝1}＝a－d, P{X=3}=a+d. 由概率函數(shù)的和為 1，可知 a= 1 , 但是 a－d 與 a+d 均需大于零, 3 因此｜d｜＜ 1 , X 的概率分布為 3 X 1 2 3 12 P 1 －d 3 1 3 3 1 +d 3 其中 d 應(yīng)滿足條件：0＜｜d｜＜ 1 12. 已知 P { X 解 ∞ m =1 = m }= ∞ cλ ?λ ,m e m! m =1, 2, …, 且 λ＞0, 求常數(shù) c. 1 = ∑ p{X = m} = ∑ ∞ cλm ?λ e m =1 m ! = eλ 由于 ∑ ∞ λm m =0 m ! = 1+ ∑ ∞ λm , 所以有 m =1 m ! 13. 甲、乙二人輪流投籃，甲先開(kāi)始，直到有一人投中為止，假定甲、乙二人 投籃的命中率分別為 及 ，求： (1)二人投籃總次數(shù) Z 的概率分布； (2)甲投籃次數(shù) X 的概率分布； (3)乙投籃次數(shù) Y 的概率分布. 解 設(shè)事件 Ai 表示在第 i 次投籃中甲投中， 表示在第 j 次投籃中乙投中，=1, 3, j i 5, …, j=2, 4, 6,…,且 A1, B2, A3, B4，…相互獨(dú)立. (1) P{Z = 2k ? 1} = p{A1 B1 L A 2 k ?3 B 2 k ?2 A2 k ?1 } = () k ?1 (2) a = 0 , b = π 。1, 177。 （1） P｛X ≤ a｝ 。 （4） P{ X ≤ a} = 。 （2） P{? ? aσ＜X＜? + aσ } = 。 解 ? X ?? ? P{? ? aσ＜X＜? + aσ } = P ? ＜a ? ? σ ? =2Φ(a) 1 （1）2Φ (a)1=，Φ (a)=，a=； （2）2Φ (a)1=，Φ (a)=,　a=； （3）2Φ (a)1=，Φ (a)=，a=. 72．某科統(tǒng)考的考試成績(jī) X 近似服從正態(tài)分布 N (70, 10 2 ) , 第 100 名的成績(jī)?yōu)?60 分，問(wèn)第 20 名的成績(jī)約為多少分? 解 P{X ≥ 60} ≈ 1 ? P{X ≤ 60} = 1 ? Φ ? 60 ? 70 ? ? ? ? 10 ? = Φ (1) = . 設(shè)參加統(tǒng)考人數(shù)為 n，則 100 =，n= 100 ≈ 19 n 設(shè)第 20 名成績(jī)約為 a 分，則　 P{X ≥ a} = 20 ≈ n 28 P{X ≤ a} = ? a ? 70 ? ? = ? 10 ? 查表得 a ? 70 = 10 Φ? a= 因此第 20 名的成績(jī)約為 80 分. 29 習(xí) 題 三 1．袋內(nèi)有四張卡片，分別寫有數(shù)字 1，2，3，4，每次從中任取一張，不放回地 抽取兩次，記 X、Y 分別表示兩次取到的卡片上數(shù)字的最小值與最大值，求 （X，Y）的概率分布. 解 （X，Y）可以取值為（1，2）（1，3） ， ，…，(3，4).事件 {X = 1, Y = 2} 是兩個(gè) 互不相容事件“第一次取到數(shù)字 1 且第二次取到數(shù)字 2”與“第一次取到數(shù)字 2 且第二次取到數(shù)字 1”的和，其概率為 1/6，類似地可以計(jì)算出其他 pij 的值（見(jiàn) 下表）.　 Y X 2 1 2 3 1 6 3 1 6 1 6 4 1 6 1 6 1 6 3 6 p i. 3 6 2 6 1 6 0 0 1 6 0 2 6 2．求上題中隨機(jī)變量 X 與 Y EX，EY 與方差 DX，DY. 解 在（X，Y）的聯(lián)合分布表中，將每一行對(duì)各列求和，得到 X 的邊緣分布 pi. （i=1，2，3）.類似地，可以得到關(guān)于 Y 的邊緣分布，其具體結(jié)果見(jiàn)上題聯(lián)合 分布表. EX= 1 3 + 2 2 + 3 1 = 5 EX 2 = 10 6 6 6 3 3 1 2 3 10 35 EY = 2 + 3 + 4 = EY 2 = 6 6 6 3 3 5 5 DX = EX 2 ? ( EX ) 2 = DY = 9 9 3．一個(gè)袋內(nèi)有 10 個(gè)球，其中有紅球 4 個(gè)，白球 5 個(gè)，黑球 1 個(gè)，不放回地抽 取兩次，每次一個(gè)，記 X 表示兩次中取到的紅球數(shù)目，Y 表示取到的白球數(shù) 目，求隨機(jī)向量（X，Y）的概率分布及 X、Y 的邊緣概率分布. 解 顯然（X，Y）的全部取值為（0，1）（0，2） ， ，…（2，0）. P{X = 0, Y = 1} = 1 C5 5 = 2 C10 45 ： 類似地可以計(jì)算出其他 pij 的值（見(jiàn)下表） Y X 0 0 4 45 1 5 45 20 45 2 10 45 0 1 0 30 2 6 45 0 0 4．上題中試驗(yàn)條件不變，若記 ?0 第i次取到紅球 ? X i = ?1 第i次取到白球 ?2 第i次取到黑球 ? 解 式 i=1，2，求隨機(jī)向量 ( X 1 , X 2 ) 的概率分布，計(jì)算兩次取到的球顏色相同的概率. P{X = i, Y = j} = P{X = j}P{ = i X = i} Y 易見(jiàn) ( X 1 , X 2 ) 的全部可能取值為（0，0）（0，1） ， ，…（2，1）. 應(yīng)用乘法公 不難計(jì)算出 pij 的全部值（見(jiàn)下表） ： X 2 0 1 20 90 20 90 5 90 16 45 2 4 90 5 90 X1 0 1 2 12 90 20 90 4 90 0 P{X 1 = X 2 } = P{X 1 = 0, X 2 = 0} + P{X 1 = 1, X 2 = 1} = 5．第 3 題中袋內(nèi)球的組成及抽取次數(shù)不變，但是改為有放回抽取，求第 4 題中 定義的隨機(jī)向量 ( X 1 , X 2 ) 的概率分布. 解 ( X 1 , X 2 ) 的取值為(0，0)，(0，1)，… (2，2)． 且 P{X 1 = i, X 2 = j} = P{x = i}P{x = j} ，因此， ( X 1 , X 2 ) 的聯(lián)合概率分布為下表所示： X 2 0 1 2 X1 0 1 2 6．將 3 個(gè)球隨機(jī)地放入四個(gè)盒子，記 X i 表示第 i 個(gè)盒子內(nèi)球的個(gè)數(shù)，i=1，2， 求隨機(jī)變量 X 1 與 X 2 的聯(lián)合概率分布及關(guān)于 X 2 的邊緣分布. 解 ( X 1 , X 2 ) 取值為（0，0）（0，1） ， ，…（3，0） 23 8 P{X 1 = 0, X 2 = 0} = 3 = 4 64 31 1 C3 1