【正文】 解 ? X ?? ? P{? ? aσ＜X＜? + aσ } = P ? ＜a ? ? σ ? =2Φ(a) 1 （1）2Φ (a)1=，Φ (a)=，a=； （2）2Φ (a)1=，Φ (a)=,　a=； （3）2Φ (a)1=，Φ (a)=，a=. 72．某科統(tǒng)考的考試成績(jī) X 近似服從正態(tài)分布 N (70, 10 2 ) , 第 100 名的成績(jī)?yōu)?60 分，問(wèn)第 20 名的成績(jī)約為多少分? 解 P{X ≥ 60} ≈ 1 ? P{X ≤ 60} = 1 ? Φ ? 60 ? 70 ? ? ? ? 10 ? = Φ (1) = . 設(shè)參加統(tǒng)考人數(shù)為 n，則 100 =，n= 100 ≈ 19 n 設(shè)第 20 名成績(jī)約為 a 分，則　 P{X ≥ a} = 20 ≈ n 28 P{X ≤ a} = ? a ? 70 ? ? = ? 10 ? 查表得 a ? 70 = 10 Φ? a= 因此第 20 名的成績(jī)約為 80 分. 29 習(xí) 題 三 1．袋內(nèi)有四張卡片，分別寫有數(shù)字 1，2，3，4，每次從中任取一張，不放回地 抽取兩次，記 X、Y 分別表示兩次取到的卡片上數(shù)字的最小值與最大值，求 （X，Y）的概率分布. 解 （X，Y）可以取值為（1，2）（1，3） ， ，…，(3，4).事件 {X = 1, Y = 2} 是兩個(gè) 互不相容事件“第一次取到數(shù)字 1 且第二次取到數(shù)字 2”與“第一次取到數(shù)字 2 且第二次取到數(shù)字 1”的和，其概率為 1/6，類似地可以計(jì)算出其他 pij 的值（見(jiàn) 下表）.　 Y X 2 1 2 3 1 6 3 1 6 1 6 4 1 6 1 6 1 6 3 6 p i. 3 6 2 6 1 6 0 0 1 6 0 2 6 2．求上題中隨機(jī)變量 X 與 Y EX，EY 與方差 DX，DY. 解 在（X，Y）的聯(lián)合分布表中，將每一行對(duì)各列求和，得到 X 的邊緣分布 pi. （i=1，2，3）.類似地，可以得到關(guān)于 Y 的邊緣分布，其具體結(jié)果見(jiàn)上題聯(lián)合 分布表. EX= 1 3 + 2 2 + 3 1 = 5 EX 2 = 10 6 6 6 3 3 1 2 3 10 35 EY = 2 + 3 + 4 = EY 2 = 6 6 6 3 3 5 5 DX = EX 2 ? ( EX ) 2 = DY = 9 9 3．一個(gè)袋內(nèi)有 10 個(gè)球，其中有紅球 4 個(gè)，白球 5 個(gè)，黑球 1 個(gè)，不放回地抽 取兩次，每次一個(gè)，記 X 表示兩次中取到的紅球數(shù)目，Y 表示取到的白球數(shù) 目，求隨機(jī)向量（X，Y）的概率分布及 X、Y 的邊緣概率分布. 解 顯然（X，Y）的全部取值為（0，1）（0，2） ， ，…（2，0）. P{X = 0, Y = 1} = 1 C5 5 = 2 C10 45 ： 類似地可以計(jì)算出其他 pij 的值（見(jiàn)下表） Y X 0 0 4 45 1 5 45 20 45 2 10 45 0 1 0 30 2 6 45 0 0 4．上題中試驗(yàn)條件不變，若記 ?0 第i次取到紅球 ? X i = ?1 第i次取到白球 ?2 第i次取到黑球 ? 解 式 i=1，2，求隨機(jī)向量 ( X 1 , X 2 ) 的概率分布，計(jì)算兩次取到的球顏色相同的概率. P{X = i, Y = j} = P{X = j}P{ = i X = i} Y 易見(jiàn) ( X 1 , X 2 ) 的全部可能取值為（0，0）（0，1） ， ，…（2，1）. 應(yīng)用乘法公 不難計(jì)算出 pij 的全部值（見(jiàn)下表） ： X 2 0 1 20 90 20 90 5 90 16 45 2 4 90 5 90 X1 0 1 2 12 90 20 90 4 90 0 P{X 1 = X 2 } = P{X 1 = 0, X 2 = 0} + P{X 1 = 1, X 2 = 1} = 5．第 3 題中袋內(nèi)球的組成及抽取次數(shù)不變，但是改為有放回抽取，求第 4 題中 定義的隨機(jī)向量 ( X 1 , X 2 ) 的概率分布. 解 ( X 1 , X 2 ) 的取值為(0，0)，(0，1)，… (2，2)． 且 P{X 1 = i, X 2 = j} = P{x = i}P{x = j} ，因此， ( X 1 , X 2 ) 的聯(lián)合概率分布為下表所示： X 2 0 1 2 X1 0 1 2 6．將 3 個(gè)球隨機(jī)地放入四個(gè)盒子，記 X i 表示第 i 個(gè)盒子內(nèi)球的個(gè)數(shù)，i=1，2， 求隨機(jī)變量 X 1 與 X 2 的聯(lián)合概率分布及關(guān)于 X 2 的邊緣分布. 解 ( X 1 , X 2 ) 取值為（0，0）（0，1） ， ，…（3，0） 23 8 P{X 1 = 0, X 2 = 0} = 3 = 4 64 31 1 C3 （4） P{ X ≤ a} = 。1, 177。 2 /2 9. 已知 P{X＝n}=, n=1, 2, …, 100, 求 c 的值. 100 解 1 = ∑ = c ( 1 + 2 + … + 100 ) ＝5050 c n =1 解得 c＝1/5050 . 10. 如果 pn＝＿2，n=1, 2, …, 問(wèn)它是否能成為一個(gè)離散型概率分布，為什么? ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 解 ∑ pn = c ∑ 12 , 由于級(jí)數(shù) ∑ 12 收斂, 若記 ∑ 12 =a,只要取 c = 1 , 則有 ∑ pn =1, 且 n =1 n=1 n n =1 n n =1 n a n =1 pn＞0. 所以它可以是一個(gè)離散型概率分布. 11. 隨機(jī)變量 X 只取 1, 2, 3 共三個(gè)值，其取各個(gè)值的概率均大于零且不相等 并又組成等差數(shù)列，求 X 的概率分布. 解 設(shè) P{X＝2}＝a，P{X＝1}＝a－d, P{X=3}=a+d. 由概率函數(shù)的和為 1，可知 a= 1 , 但是 a－d 與 a+d 均需大于零, 3 因此｜d｜＜ 1 , X 的概率分布為 3 X 1 2 3 12 P 1 －d 3 1 3 3 1 +d 3 其中 d 應(yīng)滿足條件：0＜｜d｜＜ 1 12. 已知 P { X 解 ∞ m =1 = m }= ∞ cλ ?λ ,m e m! m =1, 2, …, 且 λ＞0, 求常數(shù) c. 1 = ∑ p{X = m} = ∑ ∞ cλm ?λ e m =1 m ! = eλ 由于 ∑ ∞ λm m =0 m ! = 1+ ∑ ∞ λm , 所以有 m =1 m ! 13. 甲、乙二人輪流投籃，甲先開(kāi)始，直到有一人投中為止，假定甲、乙二人 投籃的命中率分別為 及 ，求： (1)二人投籃總次數(shù) Z 的概率分布； (2)甲投籃次數(shù) X 的概率分布； (3)乙投籃次數(shù) Y 的概率分布. 解 設(shè)事件 Ai 表示在第 i 次投籃中甲投中， 表示在第 j 次投籃中乙投中，=1, 3, j i 5, …, j=2, 4, 6,…,且 A1, B2, A3, B4，…相互獨(dú)立. (1) P{Z = 2k ? 1} = p{A1 B1 L A 2 k ?3 B 2 k ?2 A2 k ?1 } = () k ?1 = () k ?1 k=1, 2, … P{Z = 2k } = p( A1 B1 L A2 k ?3 B 2 k ? 2 A2 k ?1 B2 k ) k = () k ?1 = k=1, 2, … (2) P{X = n} = p{A1 B1 L A2 n?3 B 2n?2 A2 n?1 } + p A1 B1 L A 2 n ?3 B 2 n ?2 A2 n?1 B2 n = ( ) n?1 ( + ) = ?1 n = 1, 2, K (3) P { Y = 0 } = P( A1 ) = P { Y = n } = P A1 B1 K A 2 n?1 B2 n + P A1 B1 K A 2 n?1 B 2 n A2 n+1 = ( ) n?1 ( + ) = ?1 n = 1, 2， K cλm ?λ ∑1 m ! e = c(e λ ? 1)e ?λ = c(1 ? e ?λ ) = 1 m= 1 解得 c= 1 ? e ?λ { } { } { } 14. 一條公共汽車路線的兩個(gè)站之間，有四個(gè)路口處設(shè)有信號(hào)燈，假定汽車經(jīng) 過(guò)每個(gè)路口時(shí)遇到綠燈可順利通過(guò)，其概率為 ，遇到紅燈或黃燈則停止 前進(jìn)，其概率為 ，求汽車開(kāi)出站后，在第一次停車之前已通過(guò)的路口信 號(hào)燈數(shù)目 X 的概率分布(不計(jì)其他因素停車). 解 X 可以取 0, 1, 2, 3, 4 . P { X＝0 } ＝ P { X＝1 }＝＝ 2 P { X＝2 } ＝ ＝ P { X＝3 } ＝＝ P { X＝4 } ＝＝ 15. ?sin x , f ( x) = ? ? 0, x ∈ [ a , b] ， 其他 . 13 問(wèn) f(x)是否為一個(gè)概率密度函數(shù)，為什么?如果 (1) a = 0 , b = π 。2 , … P { Y=n } =P { lgX=n } =P { X=10n } = 1 3 3 3 P { Y=－n } =P { lgX=－n } =P { x=10n } ＝ 1 n＝1 , 2 , … 33. X 服從〔a , b〕上的均勻分布，Y=ax+b (a≠0)，求證 Y 也服從均勻分布. 證 設(shè) Y 的概率密度為 fY ( y ) ，X 的概率密度為 fX ( x )，只要 a ≠ 0， y = ax + b 都是 x 的單調(diào)函數(shù). 當(dāng) a ＞ 0 時(shí)，Y 的取值為〔a2+b , ab+b〕, x=h( y)= 1 1 ( y ? b ) , h′ ( y ) = x ′ = y a a 1 f Y ( y ) = h′ ( y ) f X [ h ( y ) ] = , y ∈ [ a 2 + b , ab + b ], a (b?a ) 當(dāng) y ∈ [ a 2 + b , ab + b ] 時(shí) ， fY ( y ) =0. 類似地，若 a＜0，則 Y 的取值為〔 ab+b , a2+b 〕 ? ?1 , ? f Y ( y) = ? a(b ? a) ? 0, ? ab + b ≤ y ≤ a 2 + b , 其他 . 因此，無(wú)論 a＞0 還是 a＜0，ax+b 均服從均勻分布. 34. 隨機(jī)變量 X 服從〔0 , π 2 〕上的均勻分布 Y=cosX , 求 Y 的概率密度 fY ( y ). 解 y=cosx 在〔0, h′ ( y ) = ?1 1? y 2 π 2 〕上單調(diào)，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccosy 2 π , fx ( x ) = 0＜ y ＜1 , 其他 . , 0 ≤ x ≤ π 2 . 因此 2 ? , ? fY ( y ) = ? π 1 ? y 2 ? 0， ? 35. 隨機(jī)變量 X 服從(0 , 1)上的均勻分布，Y=ex , Z =｜lnX｜，分別求隨機(jī)變 量 Y 與 Z 的概率密度 fY ( y ) 及 fZ ( z ) . 解 y = ex 在(0 , 1)內(nèi)單調(diào) , x=lny 可導(dǎo)，且 x′y = 1 , fX ( x ) =1 y 0 ＜ x ＜ 1 , 因此有 18 ?1 ? , fY ( y ) ? y ? 0, ? 1＜ y ＜ e , 　 其他 . 在(0 , 1)內(nèi) lnx ＜ 0｜lnx｜=lnx 單調(diào)，且 x = e ? z ，x′z＝－e ? z ，因此有 ?e ? z ， fz ( z ) = ? ? 0, 0 ＜ z ＜ + ∞, 其他 . 36. 隨機(jī)變量 X～f ( x ) ， ?e ? x , f (x)=? ? 0, x＞0 x≤0 Y = X , Z = X2 , 分別計(jì)算隨機(jī)變量 Y 與 Z 的概率密度 fy ( y ) 與 fZ ( z ) . 解 當(dāng) x ＞ 0 時(shí)，y = x 單調(diào)，其反函數(shù)為 x = y2 , x′y = 2y ?2 y e ? y , ? fY ( y ) = ? ? 0, ? 2 y＞0 , y ≤ 0. z 當(dāng) x ＞ 0 時(shí) z＝x2 也是單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)為 x = ? 1 ? e ? f z ( z) = ? 2 z ? 0, ? z , x′ z= 1 2 z z＞0 ， z ≤ 0. (x)= 2 X～f ( x )，當(dāng) x ≥ 0 時(shí), f π (1 + x 2 ) , Y=arctanX , Z = 解 1 X ,分別計(jì)算隨機(jī)變量 Y 與 Z 的概率密度 fY ( y ) 與 fz ( z ) . ? 2? 其反函數(shù) x=tany , x′ y=sec2y 在 ? ? 0, π ? 內(nèi) 由于 y = arctanx 是單調(diào)函數(shù)， ? ? π 2 2 f Y ( y ) = sec y = π (1 + tan 2 y ) π 即 Y 服從區(qū)間(0 , π )上的均勻分布. 2 1 z = 在 x＞0 時(shí)也是 x 的單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù) x= 1 x z 2 恒不為零，因此，當(dāng) 0 ＜ y ＜ 2 時(shí)， , x′ z = ?1 . 2 z 因此當(dāng) z＞0 時(shí)， fz ( z ) = ?1 2 2 = 2 z π [ 1+ ( 1 )2 ] π ( 1 + z 2 ) z 2 ? , z＞0 ? f z ( z ) = ? π(1 + z 2 ) ? 0, z≤0 ? 19 即Z = 圓心在原點(diǎn)的圓的上半圓周上隨機(jī)游動(dòng). 求該質(zhì)點(diǎn)橫 38. 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在半徑為 R， 坐標(biāo) X 的密度函數(shù) fX ( x ) . 解 如圖，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在圓周位置為 M，弧 M A 的長(zhǎng)記為 L，顯然 L 是一個(gè)連續(xù)型隨 機(jī)變量，L 服從〔0，πR〕上的均勻分布. ? 1 , ? f L ( l ) = ? πR ? 0, ? 0 ≤ l ≤ πR ， 其他 . 1 X 與 X 同分布. M 點(diǎn)的橫坐標(biāo) X 也是一個(gè)數(shù)，且圖 21 隨機(jī)變量，它是弧長(zhǎng) L 的函 X ＝ Rcosθ ＝ Rcos 函數(shù) x = Rcosl / R 是 l 的單調(diào)函數(shù) ( 0＜ l ＜ πR ) ,其反函數(shù)為 l ＝ Rarccos x R ′ lx = ?R R2 ? x2 L R 當(dāng)－R ＜ x ＜ R 時(shí)，L′x ≠ 0，此時(shí)有 fX ( x