小學(xué)奧數(shù)之排列組合問(wèn)題-閱讀頁(yè)
2025-04-08 03:08本頁(yè)面
【正文】 裝電腦，又會(huì)安裝音響設(shè)備，今選派由人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要人，安裝音響設(shè)備要人，共有多少種不同的選人方案？【解析】 按具有雙項(xiàng)技術(shù)的學(xué)生分類(lèi)：⑴ 兩人都不選派，有(種)選派方法；⑵ 兩人中選派人，有種選法．而針對(duì)此人的任務(wù)又分兩類(lèi)：若此人要安裝電腦，則還需人安裝電腦，有(種)選法，而另外會(huì)安裝音響設(shè)備的人全選派上，只有種選法．由乘法原理，有(種)選法；若此人安裝音響設(shè)備，則還需從人中選人安裝音響設(shè)備，有(種)選法，需從人中選人安裝電腦，有(種)選法．由乘法原理，有(種)選法．根據(jù)加法原理，有(種)選法；綜上所述，一共有(種)選派方法．⑶ 兩人全派，針對(duì)兩人的任務(wù)可分類(lèi)討論如下：①兩人全安裝電腦，則還需要從人中選人安裝電腦，另外會(huì)安裝音響設(shè)備的人全選上安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案；②兩人一個(gè)安裝電腦，一個(gè)安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案；③兩人全安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案．根據(jù)加法原理，共有(種)選派方案．綜合以上所述，符合條件的方案一共有(種)．【例 20】 有11名外語(yǔ)翻譯人員，其中名是英語(yǔ)翻譯員，名是日語(yǔ)翻譯員，另外兩名英語(yǔ)、日語(yǔ)都精通．從中找出人，使他們組成兩個(gè)翻譯小組，其中人翻譯英文，另人翻譯日文，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作．問(wèn)這樣的分配名單共可以開(kāi)出多少?gòu)垼俊窘馕觥?針對(duì)兩名英語(yǔ)、日語(yǔ)都精通人員(以下稱(chēng)多面手)的參考情況分成三類(lèi)：⑴ 多面手不參加，則需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇．由乘法原理，有種選擇．⑵ 多面手中有一人入選，有種選擇，而選出的這個(gè)人又有參加英文或日文翻譯兩種可能：如果參加英文翻譯，則需從名英語(yǔ)翻譯員中再選出人，有種選擇，需從名日語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇．由乘法原理，有種選擇；如果參加日文翻譯，則需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語(yǔ)翻譯員中再選出名，有種選擇．由乘法原理，有種選擇．根據(jù)加法原理，多面手中有一人入選，有種選擇．⑶ 多面手中兩人均入選，對(duì)應(yīng)一種選擇，但此時(shí)又分三種情況：①兩人都譯英文；②兩人都譯日文；③兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種．情況①中，還需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇．需從名日語(yǔ)翻譯員中選人，種選擇．由乘法原理，有種選擇．情況②中，需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇．還需從名日語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇．根據(jù)乘法原理，共有種選擇．情況③中，兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種，有兩種安排即兩種選擇．剩下的需從名英語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語(yǔ)翻譯員中選出人，有種選擇．由乘法原理，有種選擇．根據(jù)加法原理，多面手中兩人均入選，一共有種選擇．綜上所述，由加法原理，這樣的分配名單共可以開(kāi)出張．二、 幾何計(jì)數(shù)【例 21】 下圖中共有____個(gè)正方形。【例 22】 在圖中(單位：厘米)： ①一共有幾個(gè)長(zhǎng)方形? ②所有這些長(zhǎng)方形面積的和是多少?【解析】 ①一共有(個(gè))長(zhǎng)方形；②所求的和是 (平方厘米)。 (第六屆走美決賽試題)☆【解析】 含☆的一行內(nèi)所有可能的長(zhǎng)方形有：(八種)☆☆☆☆☆☆ ☆☆含☆的一列內(nèi)所有可能的長(zhǎng)方形有：(六種)☆☆☆☆☆☆所以總共長(zhǎng)方形有個(gè)，面積總和為?！纠?24】 一個(gè)圓上有12個(gè)點(diǎn)A1，A2，A3，…，A11，A12．以它們?yōu)轫旤c(diǎn)連三角形，使每個(gè)點(diǎn)恰好是一個(gè)三角形的頂點(diǎn)，且各個(gè)三角形的邊都不相交．問(wèn)共有多少種不同的連法?【解析】 我們采用遞推的方法． I如果圓上只有3個(gè)點(diǎn)，那么只有一種連法． Ⅱ如果圓上有6個(gè)點(diǎn)，除A1點(diǎn)所在三角形的三頂點(diǎn)外，剩下的三個(gè)點(diǎn)一定只能在A1所在三角形的一條邊所對(duì)應(yīng)的圓弧上，表1給出這時(shí)有可能的連法。課后練習(xí)：練習(xí)1. 用排成四位數(shù)：（1）共有多少個(gè)四位數(shù)？（2）無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個(gè)？（3）無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有多少個(gè)？（4）2在3的左邊的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個(gè)？（5）2在千位上的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個(gè)？（6）5不在十位、個(gè)位上的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個(gè)？【解析】 ⑴條件中未限制“無(wú)重復(fù)數(shù)字”，所以，數(shù)字可以重復(fù)出現(xiàn)，如等．依分步計(jì)數(shù)乘法原理共有（個(gè)）⑵（個(gè)）⑶個(gè)位上只能是或，有（個(gè)）⑷所有四位數(shù)中，在的左邊或在的右邊的數(shù)各占一半，共有（個(gè)）⑸在千位上，只有種方法，此后只能在另外的個(gè)位置上排列，有（個(gè)）⑹法一：不在十位、個(gè)位上，所以只能在千位上或百位上，有（個(gè)）法二：從中減去不合要求的（在十位上、個(gè)位上），有（個(gè)）?！窘馕觥?利用長(zhǎng)方形的計(jì)數(shù)公式：橫邊上共有n條線(xiàn)段，縱邊上共有m條線(xiàn)段，則圖中共有長(zhǎng)方形（平行四邊形）mn個(gè)，所以有(4+3+2+1)（4+3+2+1）=100，這些長(zhǎng)方形的面積和為：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=12486=10664。由于每個(gè)空位都有畫(huà)‘|’與“不畫(huà)‘|’兩種可能：每個(gè)空位都有畫(huà)“|”與不畫(huà)“|”兩種可能根據(jù)乘法原理，在這9個(gè)空位中畫(huà)若干個(gè)“|”的方法數(shù)有：，這也就說(shuō)明吃完10顆糖共有512種不同的吃法。月測(cè)備選【備選1】書(shū)架上有本故事書(shū)，本作文選和本漫畫(huà)書(shū)，全部豎起來(lái)排成一排?！緜溥x4】在中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)相加，其和是偶數(shù)的共有多少種不同的取法？【解析】 兩個(gè)數(shù)的和是偶數(shù)，通過(guò)前面剛剛學(xué)過(guò)的奇偶分析法，這兩個(gè)數(shù)必然同是奇數(shù)或同是偶數(shù)，而取出的兩個(gè)數(shù)與順序無(wú)關(guān)，所以是組合問(wèn)題．從個(gè)偶數(shù)中取出個(gè)，有(種)取法；從個(gè)奇數(shù)中取出個(gè)，也有(種)取法．根據(jù)加法原理，一共有(種)不同的取法．【備選5】如圖所示，用長(zhǎng)短相同的火柴棍擺成31996的方格網(wǎng)，其中每個(gè)小方格的邊都由一根火柴棍組成，那么一共需用多少根火柴棍?【解析】 橫放需19964根，豎放需19973根共需19964+19973=13975根。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。用一些事情，總會(huì)看清一些人。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。4. 歲月是無(wú)情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。你必須努力，當(dāng)有一天驀然回首時(shí)，你的回憶里才會(huì)多一些色彩斑斕，少一些蒼白無(wú)力。學(xué)習(xí)參
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