【正文】 ??33DxD??22( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 2 )??????????行列式主要知識點網(wǎng)絡(luò)圖 概念 排列 行列式 逆序，奇排列，偶排列 一般項是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和 . ● ● 互換行列式的兩行 (列 )，行列式變號。 ● 若行列式中某一行 (列 )的所有元素均為兩元素之和，則 該行列式可拆成兩個行列式 . ● 某行 (列 )的 k倍加到另一行 (列 )，行列式不變。 1 矩陣 一、矩陣概念 定義 1. mnmmnnaaaaaaaaa??????212222111211),2,1。 一、矩陣的加法 定義 定義 2 設(shè)有兩個 m n矩陣 A B 那末矩陣 A 與 B 的和記作 A + B , 規(guī)定為 )( ),( ijij ba ??A + B = ???????????????????????mnmnmmmmnnnnbababababababababa??????221122222221211112121111矩陣的 減法： A – B = A + (－ B ) 運算律 矩陣的加法滿足下列運算規(guī)律設(shè) A、B、 C 都是 m n 矩陣 : 1） A + B = B + A 2） （ A + B） + C = A +（ B + C ） 3） A +（ － A） = A－ A = 0 二、數(shù)與矩陣相乘 定義 定義 3 數(shù) λ 與矩陣的乘積 ,記作 λA 或 Aλ,規(guī)定為 λA = A λ= ???????????????????????mnmmnnaaaaaaaaa???????212222111211運算律 數(shù)乘矩陣滿足下列運算規(guī)律 設(shè) A、 B 為 m n 矩陣， λ、 μ為數(shù) ： 2） （ λ ＋ μ ) A = λ A + μA； 1） （ λμ） A = λ ( μA ) 3） λ ( A + B ) = λA + λB 這樣定義矩陣加法和數(shù)乘矩陣的運算，統(tǒng)稱為 矩陣的線性運算 . 三、矩陣與矩陣相乘 定義 定義 4 設(shè) A =（ aij)m s , B = ( bij )s n 矩陣， 那末規(guī)定矩陣 A與矩 B 的乘積是一個 m n矩陣 C = ( c ij )m n 。 1 , 2 ) ,si k k jka b i m j n?? ? ??1 1 2 2i j i j i j i s s jc a b a b a b? ? ? ?注意： ijkjskik cba ?? ?? 1? ?1212jji i issjbba a ab??????????????1 1 2 2i j i j i s s ja b a b a b? ? ? ?例 ???????? ?20221301???????????????431102311014 A = B = 與 的乘積 AB C ＝ AB ???????? ?20221301???????????????431102311014 ???????? ???1199129解： ＝ 例 2. 設(shè)矩陣 ??????????2142?????????? 6342A = B = 求 AB與 B A。 4) A ( B + C ) = AB + AC ( B + C ) A = BA + CA 3. 設(shè) E為單位矩陣 EA = AE = A 或簡寫成 ,m m n m nE A A???m n n m nA E A???方陣的冪運算 設(shè) A為 n 階方陣 . k , l 為正整數(shù) kkAAAA ???? ?? ? )1lklk AAA ??? )2kllk AA ?)( )3? ?:. k kkA B A B?注 一 般 說 來如 A B ?????????????????????????4241323122211211343332312423222114131211bbbbbbbbaaaaaaaaaaaa23)( ??? ijcC 其中 是向第 i 店所發(fā)產(chǎn)品的總值 , 是向第 i 店所發(fā)產(chǎn)品的總重量。 1ic 2ic,0101001000011110???????????????A 則 A2 表示從 i 市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到 j 市的單向航線的條數(shù)構(gòu)成的矩陣。 ,654321?????????A .635241???????????TA例如 ? ? 。 )3 TT AA ???? ? . )4 TTT ABAB ?。 AB = C = ( cij )m n ， BTAT = D = ( dij )n m。 因為 sijsijijji bababac ???? ?2211jssijiji ababab ???? ?2211ijd?).,2,1。 解法 1：因為 AB = ???????? ??1013173140? ???????????1031314170 －＝所以TAB?????????? ????????? ?102324171231102.1031314170????????????解法 2： ? ?A B B A?T TT1 4 2 2 17 2 0 0 31 3 1 1 2? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? 有了轉(zhuǎn)置矩陣的定義 后，顯然有 A為對稱矩陣， A為反對稱矩陣， 。 證 由于 A = 189。(A + AT + A－ AT ) 22TTA A A A????()22T T T T TA A A A?? ????????TA + A 2因為()22T T T T TA A A A????????TAA2－ － － －故 A等于對稱矩陣 與反對稱矩陣 之和。 證明 : TTT )(2 XXE ??,2 T HXXE ???所以 H是對稱矩陣 . T T T( 2 )H E X X??2T2T )2( XXEHHH ???))((44 TTT XXXXXXE ???TTT )(44 XXXXXXE ???TT 44 XXXXE ???E? 五、方陣的 行列式 定義 定義 6 由 n階方陣 A的元素所構(gòu)成的行列式 （各元素的位置不變），稱為方陣 A的行列式， 記作 |A| 或 detA 。).1 T AA ?。 記 2n 階行列式 1 1 111 1 11011nn n nnn n naaaabbbb??D = AOEB? ? 顯然， D = |A||B| ,而在 D 中以 b1j 乘第 1 列， b2j 乘第 2 列 ， … ， bnj 乘第 n 列 , 都加到第 n + j 列上 （ j = 1 , 2 , … , n ) , 有 D= 11 12 1 11 11 12 21 1 1 11 1 12 2 121 22 2 21 11 22 21 2 1 21 1 22 2 21 2 1 11 2 21 1 1 1 2 21 0 00 1 0n n n n n n nnn n n n n n nnn n nn n n nn n n n n n nn nna a a a b a b a b a b a b a ba a a a b a b a b a b a b a ba a a a b a b a b a b a b a b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???00 0 1?0ACDE??其中 C = ( cil ) , cij = ai1b1j+ai2b2j+… +ainbnj , 故 C = AB。 于是 | AB | = | A | | B | 例 6：設(shè) A , B 均為 n 階方陣 且 ,1, TT ????BAEBBEAA.0?? BA則證 BAABABBA TT ?? ＝BABA )( TT ??BBAA T)( ??BAB ??? 2BA ???.0 ?? BA故 例 7 設(shè) A 是 n 階反對稱矩陣， B 是 n 階對稱矩陣，則 AB + BA 是 n 階反對稱矩陣。 例 8 設(shè) 1213112,3???????????? ?????? ???? ??令 A = αβT, 求 An 及 | An|。 A 設(shè) A 、 B 為復(fù)矩陣， λ 為復(fù)數(shù) . 。 例 9 設(shè) 12,.1 1 3 2abAB? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ?若矩陣 A與 B 可交換，求 a ,b 的值 。 6 4 23 2 5 4a b a b a bab? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ?即 例 10 設(shè) 1 0 00 2 00 0 3A???????????求與 A 可交換的所有矩陣。 方陣多項式 設(shè)有 n 階矩陣 A 和多項式 f ( λ ) = amλm + am1λm1 + … + a1λ + a0 規(guī)定 f ( A ) = am Am + am1 Am1 + … + a1A + a0 稱 f ( A ) 為方陣 A 的 矩陣多項式 。 解 因為 21 1 2 1 1 20 1 1 0 1 11 2 1 1 2 1A??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?3 3 63 0 3 33 6 3A???????????3 2 51122 3 1????? ? ? ?????則 f (A) = A2－ 3A + 2E 3 2 5 3 3 6 2 0 01 1 2 0 3 3 0 2 02 3 1 3 6 3 0 0 2?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 5 11 2 1 .1 3 0?????? ? ???????練習(xí) ： . ? ? ? ?。123321 )1( ?????????