【正文】 sP P P 12, , , tQ Q QA mn? mn1 1 1 1rs s t tEOP P P A Q Q QOO?????????nEn A12, , , lP P P 12 lA P P P?． A? 推論 3 矩陣 存在 階可逆陣 和 階可逆陣 ，使 ． ? 用初等列變換也可求逆矩陣，即 ? 例 1 設(shè) 求 ． mn? ~AB ? m Pn Q PAQ B?1AEEA ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?有 限 次 初 等 列 變 換1 2 32 2 13 4 3A?????????1A?例 16 設(shè) ? 解 ? ?2213311 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 02 2 1 0 1 0 0 2 5 2 1 03 4 3 0 0 1 0 2 6 3 0 1rrrrAE??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?2131253 2 2 31 0 2 1 1 0 1 0 0 1 3 20 2 5 2 1 0 0 2 0 3 6 50 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1rrrrr r r r????? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?2 ( 2 )( 1 )31 0 0 1 3 2350 1 0 3220 0 1 1 1 1rr???????????? ? ??????? 所以 11 3 2353221 1 1A????????? ? ????? ???? 例 2 求矩陣 ，使 ，其中 ? 解 若 可逆，則 ． X AX B?4 1 22 2 1 ,3 1 1A???????????132 2 .31B???????????A 1X A B??? ?134 1 2 1 3 1 0 1 2 22 2 1 2 2 2 2 1 2 23 1 1 3 1 3 1 1 3 1rrAB?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?23213 1 2 32231 0 1 2 2 1 0 1 2 20 2 3 6 6 0 1 2 9 50 1 2 9 5 0 0 1 1 2 4rrrrr r r r????? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?132332( 1 )1 0 0 1 0 20 1 0 1 5 30 0 1 1 2 4rrrrr????????? ? ???所以 1 0 21 5 31 2 4X????? ? ????? 矩陣的秩 ? 矩陣秩的定義 ? 定義 13 設(shè) 為 矩陣 ， 在 中任取 行和列 ， 位于這 行 列交叉 位置上的 個(gè)元素 ， 按原有的位置構(gòu)成的 階方陣 ， 稱為矩陣 的一個(gè) 階子方陣 ， 其行列式稱為 的一個(gè) 階子式 ． 定義 14 設(shè) 矩陣 中 ， 有一個(gè) 階子式 不等于零 ， 而所有 階子式 （ 如果存在 ） 全等于零 ， 則稱 為矩陣 的最高階非零子式 ， 稱數(shù) 為矩陣 的秩 ， 記為 ． 并規(guī)定零矩陣的秩為零 ． Amn?A( 1 m in{ , })k m n≤ ≤k2kkAk kkA kA k1r?Dr()R A r?mn? AD Ar A? 矩陣秩的性質(zhì) ? （ 1）設(shè) 為 矩陣，則 ； ? （ 2） ； ? （ 3） ； ? （ 4） ； ? （ 5） ， 其中 為 矩陣， 為矩陣 ． A mn? ( ) m in { , }R A m n≤T( ) ( )R A R A?( ) ( ) ( 0 )R k A R A k??( ) ( ) ( )R A B R A R B??≤( ) ( ) ( ) m in ( ) , ( ) }R A R B k R A B R A R B?? ≤ ≤ {A mk? B kn?? 初等變換求矩陣的秩 ? 定理 5 若 ，則 ． ? 推論 1 若 為 階可逆矩陣，則 ? 推論 2 若 則 ． 推論 3 設(shè) 為 矩陣， 、 分別為 階和 階 滿秩矩陣，則 ~AB ( ) ( )R A R B?A n1( ) ( )R A R A n???． ~ rEOAOO??????()R A r?AAmn? B C m n推論 3 設(shè) 為 ( ) ( ) 。R AC R A? ( ) ( ) .R BA C R A?? 例 設(shè) 求矩陣 的秩． 解 將 施行初等行變換化為行階梯形矩陣： 3 2 0 5 03 2 3 6 12 0 1 5 31 6 4 1 4A????????? ?????AA14243141233 2 0 5 0 1 6 4 1 43 2 3 6 1 0 4 3 1 12 0 1 5 3 0 1 2 9 7 1 11 6 4 1 4 0 1 6 1 2 8 1 2rrrrrrrrA??????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?3 2 4 342341 6 4 1 4 1 6 4 1 40 4 3 1 1 0 4 3 1 10 0 0 4 8 0 0 0 4 80 0 0 4 8 0 0 0 0 0r r r rrr???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ?所以 .3)( ?AR? （ 8） 階三角陣 階上三角陣和 階下三角 陣統(tǒng)稱為 階三角陣． ①上三角陣 主對角線下方的元素全為零的 階 方陣，即 ，稱為上三 角形矩陣，簡稱上三角陣，記為 或 n n nn0 ( 。 , 1 , 2 , , )ija i j i j n? ? ? 112 1 2 212000n n n naaaa a a????????112 1 2 212n n n naaaa a a???????? ? （ 9）同型矩陣 矩陣 的行數(shù)（列數(shù)） 等于矩陣 行數(shù)（列數(shù)），稱 和 是同型 矩陣． ? （ 10）相等矩陣 若 與 是同型矩 陣，且 則稱 與 相等，記為 ． 注意：不同型的零矩陣是不相等的． ()ijAa=()ijBb= A B( 1 , 2 ,