【正文】 三重積分的定義 二、三重積分的計(jì)算 三、小結(jié) 思考題 即 ????dvzyxf ),( iiinii vf ?? ???),(l i m10????..叫做體積元素其中 dv,?的平面來(lái)劃分用平行于坐標(biāo)面在直角坐標(biāo)系中，如果.lkji zyxv ?????則三重積記為 ????d x d y d zzyxf ),( iiinii vf ?? ???),(l i m10????..積元素叫做直角坐標(biāo)系中的體其中 d x d y d z直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分． 二、三重積分的計(jì)算 xyzo?D1z2z 2S1S ),(1 yxzz ?),(2 yxzz ?ab)(1 xyy?)(2 xyy?),( yx如圖， ,Dxoy面上的投影為閉區(qū)域在閉區(qū)域 ?),(:),(:2211yxzzSyxzzS??,),( 作直線過(guò)點(diǎn) Dyx ?穿出．穿入，從從 21 zz函數(shù)，則的只看作看作定值，將先將 zzyxfyx ),(,?? ),( ),(21 ),(),( yxz yxz dzzyxfyxF上的二重積分在閉區(qū)間計(jì)算 DyxF ),(.]),([),( ),( ),(21?? ????DyxzyxzD ddzzyxfdyxF ??,),()(: 21 bxaxyyxyD ????? 得 ?????dvzyxf ),(.),()( )( ),( ),(2121? ? ?baxyxyyxzyxz dzzyxfdydx注意 于兩點(diǎn)情形．相交不多的邊界曲面直線與閉區(qū)域內(nèi)部的軸且穿過(guò)閉區(qū)域這是平行于Sz??例 1 化三重積分 ????? d x d y d zzyxfI ),( 為三次積分，其中積分區(qū)域 ? 為由曲面 222 yxz ??及22 xz ?? 所圍成的閉區(qū)域 .解 由 ???????22222xzyxz, 得交線投影區(qū)域,122 ?? yx故 ? ： ?????????????????22222221111xzyxxyxx,.),(1 1 2 21 122222? ??????????xyxxx dzzyxfdydxI例 2 化三重積分 ????? d x d y d zzyxfI ),( 為三次積分，其中 積分區(qū)域 ? 為由曲面22yxz ?? ,2xy ? , 1?y , 0?z 所圍成的空間閉區(qū)域 .? ??? ?? 1 1 01 222 ),(yxx dzzyxfdydxI .解 .11,1,0:222?????????xyxyxz如圖， x yz例 3 將 ? ? ??1010 022),(yxdzzyxfdydx 按 xzy , 的次序積分 .1D ： ???????100 2yxz解 1D?? ?? ? 1010 0 ),(2 dyzyxfdzdx x原式 ?? ? ?? 1101222 ),(xzxx dyzyxfdzdx .2D ：?????????11222yxzxzx2D截面法的一般步驟：( 1) 把積分區(qū)域 ? 向某軸 （例如 z 軸）投影，得投影區(qū)間 ],[ 21 cc ；( 2 ) 對(duì) ],[ 21 ccz ? 用過(guò) z 軸且平行 xoy 平面的平面去截 ? ，得截面 zD 。),()( 20 122 2? ? ?? x x dzzyxfdydxA。),()( 20 1222? ? ?? x x dzzyxfdydxC.),()( 20 221 2? ? ??xx dzzyxfdydxD一、 填空題 :1 、 若 ? 由曲面22yxz ?? 及平面 1?z 所圍成 , 則三重積分????d x d yd zzyxf ),( 化為三次積分是 _ _ ___ _ ___ _ ___ _ _ ___ _ _ ___ .2 、 若 ? 是由曲面 0( ?? cxycz ), 12222??byax, 0?z 所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域 , 則三重積分????d x d yd zzyxf ),( 可化為三次積分為 ___ _ ___ __ .3 、 若10,10,10: ??????? zyx, 則?????? d x d yd zzyx )( 可化為三次積分 ___ ___ _ ___ ,其值為 ________ ____.練 習(xí) 題 4 、若 ? : 是由 ),0(,0,0 ???? hhzzx )0(2222????? aayxayx 及 所圍成 , 則三重積 分????dvzyxf ),( 可化為：(1) 次序?yàn)?xyz ?? 的三次積分 ____ _____ ___.(2) 次序?yàn)?zxy ?? 的三次積分 ______ ____ __. (3) 次序?yàn)?yzx ?? 的三次積分 _________ ___.二、計(jì)算????d x d yd zzxy32, 其中 ? 是由曲面xyz ?, 與平 面 01, ??? zxxy 和 所圍成的閉區(qū)域 .三、計(jì)算 ????x z d x d yd z , 其中 ? 是曲面 1,0 ??? yyzz ,以及拋物柱面2xy ? 所圍成的閉區(qū)域 .四、計(jì)算 ?????dvyx221, 其中 ? 是由六個(gè)頂點(diǎn) ),0,0,2(),(),0,1,1(),0,0,1( DCBA )4,2,2(),0,2,2( FE 組成的三棱錐臺(tái) .一、 1 、????????111112222),(yxxxdzzyxfdydx ； 2 、????cxyaxbadzzyxfdydx0100),(22； 3 、?????101010)( dzzyxdydx ，23； 4 、?????hxaxaadzzyxfdydx020),(22， ?????22200),(xaxaahdyzyxfdxdz ；??????????22220022020),(),(yahaayayahadxzyxfdzdydxzyxfdzdy練習(xí)題答案 二、 3641.三、 0.四、 2ln .第七節(jié) 三重積分的計(jì)算 一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 三、小結(jié) 思考題 ,0 ???? r,20 ????.?????? z一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 的柱面坐標(biāo)．就叫點(diǎn)個(gè)數(shù)，則這樣的三的極坐標(biāo)為面上的投影在為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)設(shè)MzrrPxo yMzyxM,),(??規(guī)定： xyzo),( zyxM),( ?rP?r??????????.,s i n,c oszzryrx?? 柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為 為常數(shù)r為常數(shù)z為常數(shù)?如圖，三坐標(biāo)面分別為 圓柱面； 半平面； 平 面． ? ),( zyxM),( ?rP?? rzxyzo????? d x d ydzzyxf ),(.),s i n,cos(????? dzr d r dzrrf ????drxyzodzdr?rd 如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為 ,dzrd rddv ??例 1 計(jì)算 ????? z d x d y d zI ，其中 ? 是球面 4222??? zyx 與拋物面 zyx 322?? 所圍的立體 .解 由 ????????zzryrx??s i nc o s,??????zrzr34222,3,1 ??? rz知交線為 ?? ? ?? ??? 23242030rr z dzrdrdI .413??面上，如圖，投影到把閉區(qū)域 xoy?.20,3043:22??????????rrzr，例２ 　 計(jì)算 ?????? d x d y d zyxI )(22， 其中 ?是 曲線 zy 22? ， 0?x 繞 oz 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲 面 與兩平面 ,2?z 8?z 所圍的立體 .解 由?????022xzy 繞 oz 軸旋轉(zhuǎn)得，旋轉(zhuǎn)面方程為 ,222 zyx ??所圍成的立體如圖， :2D ,422 ?? yx.222020:22??????????????zrr:1D ,1622 ?? yx,824020:21??????????????zrr所圍成立體的投影區(qū)域如圖， 2D1D,)()(21222221???????????????d x d yd zyxd x d yd zyxIII?? ???12821Dr f dzr dr dI ,345 ???? ???22222Dr f dzr d r dI ,625 ?? 原式 ?I ?345?? 625?? 3 3 6 .??? ??? ? 8 24020 22r dzrrdrd?? ? ??? ? 2 220 20 22r dzrrdrd二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 的球面坐標(biāo)．就叫做點(diǎn)，個(gè)數(shù)面上的投影，這樣的三在點(diǎn)為的角，這里段逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線軸按軸來(lái)看自為從正軸正向所夾的角，與為有向線段間的距離，與點(diǎn)點(diǎn)為原來(lái)確定，其中，三個(gè)有次序的數(shù)可用為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)設(shè)Mrx o yMPOPxzzOMMOrrMzyxM??????),(,r ????0 .20 ????,0 ????規(guī)定： 為常數(shù)r為常數(shù)?為常數(shù)?如圖，三坐標(biāo)面分別為 圓錐面； 球 面； 半平面． ????????.c o s,s i ns i n,c o ss i n?????rzryrx球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為 如圖， Px yzo),( zyxM?r???zyxA，軸上的投影為在點(diǎn)，面上的投影為在設(shè)點(diǎn)AxPPxoyM., zPMyAPxOA ???則?????d x d ydzzyxf ),(????.s i n)cos,s i ns i n,coss i n( 2 ???????? dd r drrrrf球面坐標(biāo)系中的體積元素為 ,s in2 ??? dd r drdv ??drxyzodr??dsinr?rd?d??d ?sinr如圖， 例 3 計(jì)算 ?????? d x d y d zyxI )( 22 ，其中 ? 是 錐面222 zyx ?? ， 與 平面 az ? )0( ?a 所圍的立體 .解 1 采用球面坐標(biāo)az ?? ,co s ??? ar222 zyx ?? ,4????,20,40,cos0: ????????????? ar?????? d x d y d zyxI )( 22drrdda? ????? ???? 40c o s03420 s in??????? ??da )0c o s(51s i n2 55403.10 5a??解 2 采用柱面坐標(biāo)