【正文】 應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法 , a 0x bzyx)( 0xA),( yxfz ?)(1 xy ??)(2 xy ??.),(),( )()(21?? ? ??Dbaxxdyyxfdxdyxf ???得 .),(),( )()(21?? ? ??Ddcyydxyxfdydyxf ???如果積分區(qū)域?yàn)椋? ,dyc ?? ).()( 21 yxy ?? ??［ Y－型］ )(2 yx ??)(1 yx ?? Dcdcd)(2 yx ??)(1 yx ?? D X型區(qū)域的特點(diǎn) ： 穿過區(qū)域且平行于 y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn) . Y型區(qū)域的特點(diǎn) ： 穿過區(qū)域且平行于 x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn) . 若區(qū)域如圖， 3D2D1D在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式 .321???????? ???DDDD則必須分割 . xy ?? 1例 1 改變積分 ??? xdyyxfdx1010),( 的次序 .原式 ????ydxyxfdy1010),( .解 積分區(qū)域如圖 xy ??222 xxy ??例 2 改變積分???????xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序 .原式 ? ? ? ??? 10 2 11 2 ),(y y dxyxfdy .解 積分區(qū)域如圖 例 3 改變積分 )0(),(2022 2?? ??adyyxfdxa axxax 的次序 .axy 2?解 = ? ? ??a yaaaydxyxfdy02222 ),(原式 ? ? ??? a a yaa dxyxfdy0 2 22 ),( .),(2 22 2? ?? aa aay dxyxfdy22 xaxy ?? 22 yaax ????a2aa2a例 4 求 ?? ?Ddxdyyx )( 2 ，其中 D 是由拋物線2xy ? 和 2yx ? 所圍平面閉區(qū)域 .解 兩曲線的交點(diǎn)),1,1(,)0,0(22??????yxxy?? ?Ddxdyyx )( 2 ? ? ?? 10 22 )(xx dyyxdxdxxxxxx )](21)([ 4210 2 ???? ? .14033?2xy?2yx?例 5 求 ?? ?Dy dxdyex 22 ，其中 D 是以 ),1,1(),0,0()1,0( 為頂點(diǎn)的三角形 .? ? dye y 2? 無法用初等函數(shù)表示解 ? 積分時(shí)必須考慮次序?? ?Dy dxdyex 22 ?? ?? y y dxexdy02102dyye y? ?? ?10332 210262 dyye y? ?? ? ).21(61e??例 6 計(jì)算積分 ???yxydxedyI212141 ???yyxydxedy121.解 ? dxe xy? 不能用初等函數(shù)表示? 先改變積分次序 .原式 ????xxxydyedxI2211? ?? 121 )( dxeex x .2183 ee ??2xy?xy?例 7 求由下列曲面所圍成的立體體積，yxz ?? ， xyz ? ， 1?? yx ， 0?x ， 0?y .解 曲面圍成的立體如圖 . ,10 ??? yx? ,xyyx ???所求體積 ?? ???DdxyyxV ?)(? ? ? ??? 10 10 )(x dyxyyxdx? ???? 10 3 ])1(21)1([ dxxxx .247?所圍立體在 x o y 面上的投影是二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式 （在積分中要正確選擇 積分次序 ） 二、小結(jié) .),(),( )()(21?? ? ??Dbaxxdyyxfdxdyxf ???.),(),( )()(21?? ? ??Ddcyydxyxfdydyxf ???［ Y－型］ ［ X－型］ 設(shè) )( xf 在 ]1,0[ 上連續(xù)，并設(shè) Adxxf ??10)( ， 求 ??110)()(xdyyfxfdx .思考題 ? 1 )(x dyyf? 不能直接積出 ,? 改變積分次序 . 令 ???110)()(xdyyfxfdxI ,思考題解答 則原式 ???ydxyfxfdy010)()( .,)()( 010 ??? x dyyfdxxfxyo故 ???110)()(2xdyyfdxxfI ??? x dyyfdxxf010 )()(])()[()( 1010 dyyfdxxf xx ??? ??.)()( 21010 Adyyfdxxf ?? ??一、 填空題 : 1 、?????Ddyyxx ?)3(323_____ ____ _____ __. 其中 .10,10: ???? yxD 2 、 ????Ddyxx ?)co s ( _____ ____ _____ _. 其中D是頂 點(diǎn)分別為 )0,0(，)0,( ?，),( ??的三角形閉區(qū)域 . 3 、將二重積分??Ddyxf ?),( , 其中D是由x軸及半圓周)0(222??? yryx所圍成的閉區(qū)域 , 化為先對(duì)y后對(duì)x的二次積分 , 應(yīng)為 _____ _____ ____ _____ __.練 習(xí) 題 4 、將二重積分 ??Ddyxf ?),( , 其中 D 是由直線 2, ?? xxy 及雙曲線 )0(1?? xxy 所圍成的閉區(qū) 域 , 化為先對(duì) x 后對(duì) y 的二次積分 , 應(yīng)為 _____ _____ ____ _____ _____ __. 5 、將二次積分 ????22221),(xxxdyyxfdx 改換積分次序 , 應(yīng)為 __ _ __ _ __ __ _ __ __ __ _ __ __ __ _ . 6 、將二次積分 ???xx dyyxfdxs i n2s i n0),(?改換積分次序 , 應(yīng)為 __ _ __ _ __ __ _ __ __ __ _ __ __ __ _ . 7 、將二次積分 ????2ln1),(2 yedxyxfdy ?????2)1(211 2),(ydxyxfdy 改換積分次序 , 應(yīng)為 ______ _ _____ _____ ____ _____ .二、畫出積分區(qū)域 , 并計(jì)算下列二重積分 : 1 、 ???Dyxde ? , 其中 D 是由 1?? yx 所確定的閉區(qū)域 . 2 、 ?? ??Ddxyx ?)(22其中 D 是由直線 xyxyy 2,2 ??? 及 所圍成的閉區(qū)域 . 3 、??????????xDdyyxxydxdyxf020))(2(co s),( 。第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì) 一、問題的提出 二、二重積分的概念 三、二重積分的性質(zhì) 四、小結(jié) 思考題 柱體體積 =底面積 高 特點(diǎn) ：平頂 . 柱體體積 =？ 特點(diǎn) ：曲頂 . ),( yxfz ?D１．曲頂柱體的體積 一、問題的提出 播放 求曲頂柱體的體積采用 “ 分割、求和、取極限 ”的方法，如下動(dòng)畫演示． 步驟如下： 用若干個(gè)小平 頂柱體體積之 和近似表示曲 頂柱體的體積， xzyoD),( yxfz ?i??? ),( ii ??先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域， .),(lim10iiniifV ???? ?? ???曲頂柱體的體積 設(shè)有一平面薄片，占有 x oy 面上的閉區(qū)域D ，在點(diǎn) ),( yx 處的面密度為 ),( yx? ，假定),( yx? 在 D 上連續(xù)，平面薄片的質(zhì)量為多少？２．求平面薄片的質(zhì)量 i???),( ii ??將薄片分割成若干小塊， 取典型小塊，將其近似 看作均勻薄片， 所有小塊質(zhì)量之和 近似等于薄片總質(zhì)量 .),(lim10iiniiM ????? ?? ???xyo定義 設(shè) ),( yxf 是有界閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域 D 任意分成 n 個(gè)小閉區(qū)域1?? ，?,2?? ，n?? ，其中i?? 表示第 i 個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個(gè)i?? 上任取一點(diǎn)),(ii?? ，作乘積 ),(iif ??i??， ),2,1( ni ?? ，并作和 iiniif ??? ???),(1，二、二重積分的概念 積分區(qū)域 如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 ? 趨近于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),( yxf 在閉區(qū)域 D 上的 二重積分 ，記為 ??Ddyxf ?),( ，即 ??Ddyxf ?),(iiniif ?????? ???),(lim10.積分和 被積函數(shù) 積分變量 被積表達(dá)式 面積元素 (1 ) 在二重積分的定義中，對(duì)閉區(qū)域的劃分是任意的 .(2 ) 當(dāng) ),( yxf 在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在 .對(duì)二重積分定義的說明： 二重積分的幾何意義 當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積． 當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值． 在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域 D， ???? ??DDdx dyyxfdyxf ),(),(dxdyd ??故二重積分可寫為 xyoD 則面積元素為 性質(zhì)１ 當(dāng) 為常數(shù)時(shí) ， k.),(),( ???? ?DDdyxfkdyxkf ??性質(zhì)２ ?? ?Ddyxgyxf ?)],(),([.),(),( ???? ??DDdyxgdyxf ??（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)） 三、二重積分的性質(zhì) 性質(zhì)３ 對(duì)區(qū)域具有可加性 .),(),(),(21?????? ??DDDdyxfdyxfdyxf ???性質(zhì)４ ?若 為 D的面積， .1?? ?????D Ddd ???性質(zhì)５ 若在 D上 ),(),( yxgyxf ?.),(),( ???? ?DDdyxgdyxf ??特殊地 .),(),( ???? ?DDdyxfdyxf ??)( 21 DDD ??則有 設(shè) M 、 m 分別是 ),( yxf 在閉區(qū)域 D 上的最大值和最小值， ? 為 D 的面積，則性質(zhì)６ 設(shè)函數(shù) ),( yxf 在閉區(qū)域 D 上連續(xù)， ? 為 D的面積，則在 D 上至少存在一點(diǎn) ),( ?? 使得性質(zhì)７ （二重積分中值定理） ?? ?????DMdyxfm ),(???????? ),(),( fdyxfD（二重積分估值不等式） 例 1 不作計(jì)算，估計(jì) ?deIDyx????)(22的值， 其中 D 是橢圓閉區(qū)域： 12222??byax )0( ab ?? .在 D 上 2220 ayx ???? ,1 2220 ayx eee ???? ?由性質(zhì) 6 知 ,222 )( aDyx ede ??? ?? ? ???解 ?? ?? ? ?deDyx )( 22?ab .2aeab?區(qū)域 D 的面積 ?? ,?ab例 2 估計(jì) ??????D xyyxdI1