【正文】 bcd,得dacb,∴(da)2(bc)2,又(a+d)2+(ad)2=(b+c)2+(bc)2,兩式相減，得(a+d)2(b+c)2, ∴ a+db+c.[答案] 見證明過程注：本題的幾何意義是：在RtΔABC與RtΔABD中，其中AB為公共的斜邊。設(shè)想右端2是某數(shù)列{an}的前n項和，即令Sn=2,則n≥2時，an=SnSn1=(2)(2)==, 這樣問題就轉(zhuǎn)化為,而這顯然。 [答案] 見證明過程例15 已知abc,求證：++0.【巧解】放縮法∵0abac,∴由倒數(shù)法則（難點巧學(xué)）得,而0,∴ +, ∴原式得證?！厩山狻勘容^法、基本不等式法∵ 左邊右邊=2+c3=++c3≥33=0，∴原式成立。 =1+b2+b4+b6+…,∴ +=2+( a2+b2)+( a4+b4)+( a6+b6)+…≥2+2ab+2a2b2+2a3b3+…=.QTP(1,1)oyx[答案] 見證明過程例18 已知a+b=1(a,b∈R)，求證：(a+1)2+(b+1)2≥。 顯然Q(a,b)是直線L：x+y=1上的點，(a+1)2+(b+1)2表示點Q與P(1,1)的距離的平方。[答案] 見證明過程例19 若0≤θ≤，求證：cos(sinθ)sin(cosθ).【巧解】單調(diào)性法 、放縮法∵cosθ+sinθ=sin(θ+)≤，∴cosθ sinθ,又∵0≤θ≤，∴cosθ∈[0,1], sinθ∈[1,]，∴ sin(cosθ)sin( sinθ)= cos(sinθ).(單調(diào)性)[答案] 見證明過程例20 已知f(x)=，若ab0,c=2,求證：f(a)+f(c)1.【巧解】基本不等式法、放縮法可以證明f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)?！厩山狻康葍r轉(zhuǎn)化法,數(shù)形結(jié)合法將y= x2+2ax2b+1與 y=x2+(a3)x+b21兩式相加，得 2y=(3a3)x+b22b,此即為直線MN的方程（其中M、N分別為兩函數(shù)圖象與x軸的兩個交點）；另一方面，由題意知，MN即x軸，其方程為y=0,比較兩式的系數(shù)得，3a3=0,b22b=0,從而易得a=1,b=0或2，特別地當(dāng)a=1,b=0時，兩不等式的解集為{1}，也符合題意。例22設(shè)定義在[2,2]上的偶函數(shù)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若f(1m)f(m),求實數(shù)m的取值范圍。[答案] 1≤m.注：本題應(yīng)用了偶函數(shù)的一個簡單的性質(zhì)，從而避免了一場“大規(guī)?！钡挠懻摚档藐P(guān)注。3.【巧解】構(gòu)造法，定比分點法把、[答案] x∈(∞,)∪(0,+∞)?！厩山狻颗錅惙ā⑸齼绶ú坏仁絻蛇吪渖?，再運(yùn)用均值不等式升冪。[答案] 見證明過程例25 設(shè)a,b,c為ΔABC的三條邊，求證：a2+b2+c22(ab+bc+ca).【巧解】綜合法∵a+bc,b+ca,c+ab,∴三式兩邊分別乘以c,a,b得ac+bcc2,ab+aca2,bc+abb2,三式相加并整理得, a2+b2+c22(ab+bc+ca).[答案] 見證明過程例26 解不等式 + x35x0.【巧解】構(gòu)造法,綜合法原不等式等價于()3+5()x3+5x,構(gòu)造函數(shù)f(x)= x3+5x,則原不等式即為f()f(x)，又f(x)在R上是增函數(shù)，∴x,解此不等式得 x2或1x1。[答案] 見證明過程例28 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,且方程f(x)=0的兩根xx2都在(0,1)內(nèi)，求證:f(0)f(1)≤.【巧解】待定系數(shù)法、基本不等式法因方程有兩個實根為x1,x2,故可設(shè)f(x)=a(xx1)(xx2),于是f(0)f(1)=ax1x2[答案] 見證明過程例29 若aa…、a11成等差數(shù)列，且a12+a112≤100，求S=a1+a2+…+a11的最大值和最小值。Gy=()xFy=()xEy=()xPy=()xDy=()xCy=()xBy=()xAy=()x1yy=()xyy=()x1xy=()xxy=()xH【巧解】構(gòu)造法如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，BH=x,AE=y,則HC=1x,BE=1y,于是AP=,BP=,DP=, PC=,由AP+PC≥AC，BP+DP≥BD，而AC=BD=。[答案] 見證明過程例32 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a0),設(shè)方程f(x)=x的兩實根為x1和x2，如果x12x24,且函數(shù)f(x)的對稱軸為x=x0,求證：x01.a(,)b【巧解】 數(shù)形結(jié)合法設(shè)g(x)=f(x)x=ax2+(b1)x+1,由題意得,即,目標(biāo)是證明1,即（不含邊界），而表示區(qū)域內(nèi)的點(a,b)與坐標(biāo)原點連線的斜率，易見2,故命題成立。[答案] 見證明過程（注：多項式M和N正負(fù)抵消部分項后，所余部分和必為非負(fù)數(shù)。[答案] 見證明過程例35 已知a,b,c∈R,f(x)=ax2+bx++c=0,f(x)在[1,1]上的最大值是2，最小值是。（1）若a=0,則由a+c=0,得c=0,∴f(x)=≠0，∴f(x)在[1,1]是單調(diào)函數(shù)，從而f(x)max=|b|。f(x)=|b|,由（1）知這是不可能的。[答案] 見證明過程例36 是否存在常數(shù)C，使得不等式+≤C≤+，對任意正數(shù)x,y恒成立？試證明你的結(jié)論。下面給出證明：(1) 先證明：+≤，因為x0,y0,要證： + ≤，只要證 3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),即證：x2+yy≥2xy,這顯然成立，∴ +≤；（2）再證：+≥，只需證：3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y),即證：x2+y2≥2xy,這顯然成立，∴+≥。[答案] 存在常數(shù)C=,證明略.第一章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法 ……………………… 3一、 配方法 ……………………………………… 3 二、 換元法 ……………………………………… 7三、 待定系數(shù)法 ………………………………… 14四、 定義法 ……………………………………… 19五、 數(shù)學(xué)歸納法 ………………………………… 23六、 參數(shù)法 ……………………………………… 28七、 反證法 ……………………………………… 32八、 消去法 ………………………………………九、 分析與綜合法 ………………………………十、 特殊與一般法 ………………………………十一、 類比與歸納法 …………………………十二、 觀察與實驗法 …………………………第二章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想 …………………… 35一、 數(shù)形結(jié)合思想 ……………………………… 35二、 分類討論思想 ……………………………… 41三、 函數(shù)與方程思想 …………………………… 47四、 轉(zhuǎn)化（化歸）思想 ………………………… 54第三章 高考熱點問題和解題策略 …………………… 59一、 應(yīng)用問題 …………………………………… 59二、 探索性問題 ………………………………… 65三、 選擇題解答策略 …………………………… 71四、 填空題解答策略 …………………………… 77附錄 ………………………………………………………一、 高考數(shù)學(xué)試卷分析 …………………………二、 兩套高考模擬試卷 …………………………三、 參考答案 ……………………………………前 言美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。高考試題十分重視對于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。高考試題主要從以下幾個方面對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查：① 常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等；② 數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；③ 數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等；④ 常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段?？梢哉f，“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。最后談?wù)劷忸}中的有關(guān)策略和高考中的幾個熱點問題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。再現(xiàn)性題組是一組簡單的選擇填空題進(jìn)行方法的再現(xiàn)，示范性題組進(jìn)行詳細(xì)的解答和分析，對方法和問題進(jìn)行示范。每個題組中習(xí)題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識。何時配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運(yùn)用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，將這個公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。 A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 04. 函數(shù)y＝log (－2x＋5x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____。【簡解】 1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)aa＝a，將已知等式左邊后配方（a＋a）易求。 2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r0即可，選B。選C。選D。Ⅱ、示范性題組：例1. 已知長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24，則這個長方體的一條對角線長為_____?！窘狻吭O(shè)長方體長寬高分別為x,y,z，由已知“長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24”而得：?！咀ⅰ勘绢}解答關(guān)鍵是在于將兩個已知和一個未知轉(zhuǎn)換為三個數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。例2. 設(shè)方程x＋kx＋2=0的兩實根為p、q，若()+()≤7成立，求實數(shù)k的取值范圍。又 ∵p、q為方程x＋kx＋2=0的兩實根， ∴ △＝k－8≥0即k≥2或k≤－2綜合起來，k的取值范圍是：－≤k≤－ 或者 ≤k≤。本題由韋達(dá)定理得到p＋q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p＋q與pq的組合式。例3. 設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a＋ab＋b=0，求()＋() 。則代入所求式即得。又由a＋ab＋b=0變形得：(a＋b)＝ab ，所以 ()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2 。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。此方法用于只是未聯(lián)想到ω時進(jìn)行解題。Ⅲ、鞏固性題組：1. 函數(shù)y＝(x－a)＋(x－b) （a、b為常數(shù)）的最小值為_____。A. － B. 8 C. 18 3. 已知x、y∈R，且滿足x＋3y－1＝0，則函數(shù)t＝2＋8有_____。A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或65. 化簡：2＋的結(jié)果是_____。則△FPF的面積是_________。8. 已知〈βα〈π，cos(αβ)＝，sin(α+β)＝－，求sin2α的值。 ① 解不等式f(x)0；② 是否存在一個實數(shù)t，使當(dāng)t∈(m+t,nt)時，f(x)0 ？若不存在，說出理由；若存在，指出t的取值范圍。二、換元法解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計算和推證簡化。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。例如解不等式：4＋2－2≥0，先變形為設(shè)2＝t（t0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。如求函數(shù)y＝＋的值域時，易發(fā)現(xiàn)x∈[0,1]，設(shè)x＝sinα ，α∈[0,]，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。如變量x、y適合條件x＋y＝r（r0）時，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問題。我們使用換元法時，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：＝sinx(x＋1)＝log(4－x) （a1），則f(x)的值域是_______________。a＝a－a，則數(shù)列通項a＝___________。＝3的解是_______________。log(2－2)〈2的解集是____________