數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文gauss整數(shù)環(huán)的主理想及其商環(huán)研究王小娟-閱讀頁(yè)
2025-01-31 16:07本頁(yè)面
【正文】 ss整數(shù)環(huán)的一些相關(guān)定義：設(shè)表示整數(shù)環(huán)，表示虛數(shù)單位，則高斯整數(shù)環(huán)是指一切形如()的復(fù)數(shù)關(guān)于數(shù)的普通加法與乘法作成的環(huán), ：定義1 設(shè)Z表示整數(shù)環(huán),則環(huán)稱為Gauss整數(shù)環(huán).定義2 若環(huán)的非空子集滿足下面條件:（1）是一個(gè)子加群；（2） 對(duì)任意, ,元素都在中.此時(shí)我們稱是環(huán)的一個(gè)理想.定義3 我們稱環(huán)(/,+,.)為環(huán)關(guān)于理想的商環(huán),其中/,={ ,})+)=().(b+)=定義4 設(shè)為的一個(gè)主理想.2 性質(zhì)Gauss整數(shù)環(huán)有下列顯然的基本性質(zhì):命題1 的單位(可逆元)是.證明 設(shè)， 可逆，其逆元為，則兩邊取模并平方，得到由于，故，于是 ，或，或，或即的單位(可逆元)是.命題2 是歐氏環(huán),因而是主理想環(huán)和唯一分解環(huán)證明 見(jiàn)文獻(xiàn)[3]中.命題3[4] 中的素元當(dāng)且僅當(dāng)是不可約元。若是單位，則即若是單位，由故可設(shè)，于是則，由于|及|，所以|,因此是中的素元。命題 設(shè)，如果是z中的素?cái)?shù)，則是Z[i]的素元；若是Z[i]中的素元?jiǎng)t也是中的素元。設(shè)，則由可約可知可約，因此是Z[i]中的素元，則也是。由文獻(xiàn)[5]中的高斯平方和定理即知命題5成立。 引理 設(shè)，若有，使得(是一整數(shù))，則證明:由得到 即,必有整數(shù)使得：將方程組的解代入上式得：引理 若,且,則是素元的充要條件是：
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