【正文】 1n?4n?2? 分布的概率密度函數(shù) 2 分 布 的 一 些 重 要 性 質(zhì) ：?? ? ? ? ? ?2X , X , X 21 . 設(shè) 則 有?? ? ?n E n D n? ? ? ?? ?221 1 2 2 1 221 2 1 2,2 . ,Y n Y n Y YY Y n n?????? ? ?設(shè) 且 相 互 獨(dú) 立 ， 則 有22 ? 分布的可加性性質(zhì) 稱為 ，可推廣到有限個(gè)的情形：? ?221211~ , , , , ~設(shè) 且 相 互 獨(dú) 立 ， 則????????????mmi i m i iiiY n Y Y Y Y n分布的分位點(diǎn) ? ? ? ? ?????? ? ?? dxxfxXP x(*) X1 , x設(shè) 有 概 率 密 度 函 數(shù) f(x), 對(duì) 于 給 定 的 正 數(shù) ，0 若 存 在 實(shí) 數(shù)定 義， 滿 足：?????上 側(cè) 分 位 點(diǎn) （ 或 上 側(cè) 分 位則 稱 點(diǎn) x 為 X 的 ，簡(jiǎn) 稱數(shù) ）上 分 位 點(diǎn) （ 或 上 分 位 數(shù) 。上 分 位 數(shù) 的 值 可 查 分 表上 位布分 數(shù)???????????????? ? ??nnnf y d yn f y nnn? ?2 n??02??分 布 的 上 分 位 數(shù)x()fx?2 分 布 的 分 位 點(diǎn)? ? ? ? ?21222212 2 21 2 3 4 51 , , , 0 . , , ,1( ) 5 ) ( 2 ) ~ ( ) ,例 ： 設(shè) 總 體 是 取 自 總 體 的 樣 本 . 求 :(1) 統(tǒng) 計(jì) 量 的 分 布 ； （ 2 ） 設(shè) , 若 ( 則 各 為 多 少 ？ ? ? ? ??????? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ??nniiX N X X XXXn a X X b X X X ka b k 1 , 2 , ,ii XY i n?????解 ： (1) 作 變 換 ? ?12, , , 0 , 1 1 , 2 , ,niY Y Y Y N i n??顯然 相互獨(dú)立，且? ?2 2 211()nniiiiX Yn???????? ? ???2于 是 ? ? ? ?2 122 2 21 2 3 4 51 , , , 0. , , ,5 ) ( 2 ) ~ ( ) ,例 ： 設(shè) 總 體 是 取 自 總 體 的 樣 本 求 （ 2 ） 設(shè) , 若 ( 則 各 為 多 少 ？ ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?nX N X X X Xn a X X b X X X ka b k222 1212 2()( 2 ) ~ ( 0 , 2 ) , ~ ( 1 )2XXX X N ?????222 345345 2( 2 )2 ~ ( 0 , 6 ) , ~ ( 1 )6X X XX X X N ???????1 2 3 4 52223451222( 2 )()~ ( 2)26X X X X XX X XXX???? ? ????與 2 相 互 獨(dú) 立 ，故 ＋221,21,62.abk????? ? ? ? ?? ? . S tud e n t2XT=YnX ~ N 0 ,1 , Y ~ n , X , Y nTtt~ t n?定 義 ： 設(shè) 并 且 相 互 獨(dú) 立 ，則 稱 隨 機(jī) 變 量 服 從 自 由 度 為 的 分 布 ， 記 為 分 布 又 稱 為 學(xué) 生 氏 （ ） 分 布 。當(dāng) 足 夠 大 時(shí) ， 分 布 近 似 于 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布0003 . ( ) , ( 0 , 1 ) . 1 , 0 ,( | | ) ( | | ) .T t n N N n aP T a P N a??? ? ?若 則 對(duì) 任 意 的 都 存 在使 得14. ( ) ( )t n t n??? ??? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?2, 0 1 ,對(duì) 給 定 的 稱 滿 足 條 件 的 點(diǎn)為 分 布 的 其 中 為 分 布 的 概 率 密度 函 數(shù) 。 , 0 0,1 n n n nnnnbF n nn n x n n x xBf x n nxabB a b x x dx??????????? ??????? ? ??定 理 ： 分 布 的 概 率 密 度 為 ： 其 中? ?ab?? 0 x1 2? ?fx122 0 ,nn? ? ?122 0 , 2 5nn??1220 , 10nn??F 分布的密度函數(shù) F 分 布 的 一 些 重 要 性 質(zhì) ：11 2 2 1~ ( , ) , ~ ( , ). 。 , , , 。 的 值 可 查 分 布 表???? ? ???? ? ??F n nf x n n d xF n n f x n n F n nF n n FF n n0 x? ?12,F n n?()fx?F ?分 布 的 上 分 位 數(shù)11 1 2 2 1( , ) [ ( , ) ]F n n F n n?? ?? ?z??? ? ? ?, 0 , 1 , , 0 1X N z P X zz??????? ? ? ? ?此 外 設(shè) 若 滿 足 條 件 則 稱 點(diǎn) 為 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 的 上 分 位 數(shù) 。）? ????若 X 服 從 某 分 布 ， 則 稱 x 為 該 分 布 的 上 分 位 點(diǎn) .? ?212。 ( ) 。niiX X n???? ? ??注 ： 2 即2211 ()niiX ?????而 2 ()n?? ?? ?? ?? ?2211 ~ 1/tnXnSXn t nSn???????? ? ?且 兩 者 獨(dú) 立 ， 由 分 布 定 義 得 ：? ? ? ?? ?? ?2216 .5 , , ,~1/定 理 ： 設(shè) 是 總 體 的 樣 本 ， 和 分 別 是 樣 本 均 值 和 樣 本 方 差 ， 則 有 ：???? ????nX X N X SnXXtnSSn? ? ? ? ? ?22216 . 4 ~ 0 , 1 , ~ 1 ,/nSX Nnn? ????? ?證 明 ： 由 定 理 知 ，? ? ~ ( 0 , 1 )/注 意 : ?????? ? nXX Nn? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?12221 1 1 1 2 2221222 2211 111222222222122212121 , , , , , ,/ 1 ~ 1 , 1/2 ~ ( 0 , 1 ) , 3 定 理 ： 設(shè) 樣 本 和 分 別 來(lái) 自 總 體 和 并 且 它 們 相 互 獨(dú) 立 ， 其 樣 本 方 差 分 別 為則 ：當(dāng)? ? ? ?? ????????? ? ? ?? ? ??nnX X Y Y N NSSS SF F n nSSXYNnn? ? ? ?? ?? ? ? ?12122 2 22 1 2122222111 1 2 221 2 1 22~211( ) ( )11 ,22時(shí) ，其 中 ??????? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ???? ? ? ????wnnijijwwwXYt n nSnnX X Y Yn S n SSn n n nSSF且 兩 者 獨(dú) 立 ， 由 分 布 的 定 義 ， 有 ：? ?? ?? ?? ?? ?211 2121222 22221 ~ 1 ,1 ~ 1 ,證 明 ： 1 由 定 理 知 ， ????????nSnnSn? ?? ?? ?? ?? ?21112 2 21 2 1122 2 22 2 1 222211~ 1 , 111nSnSF n nn S Sn??????? ? ???? ?22 2211 111222222222/1 ~ 1 , 1/ ? ???? ? ? ?S SF F n nSS221212( 2 ) 6 . 4 , ~ ( , ) , ~ ( , ) ,X N Y N X Ynn????由 定 理 且 與 相 互 獨(dú) 立 ，22121212~ ( , )X Y Nnn????? ? ?所 以 ，12221212( ) ( )~ ( 0 , 1 )XYNnn????? ? ??即? ? ? ?122212122 ~ ( 0 , 1 )XYNnn????? ? ??? ? ? ? ? ?1212~ 0 , 111XYUNnn???? ? ???? ? 213 ? ? ?222當(dāng) == 時(shí) ， 由 （ 2 ） 得2, ?且它們相互獨(dú)立 故有 分布的可加性知：? ? ? ? ? ? ? ?221 1 2 222122211 ~ 1 , ~ 1n S n Snn?????? ??又 由 給 定 條 件 知 ：,UV且 與 相 互 獨(dú) 立? ? ? ? ? ?221 1 2 2 212211 ~2n S n SV n n??? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ?12 121212~2112wtXYUt n nV n n Snn??? ? ?? ? ??? ?于 是 據(jù) 分 布 定 義 知 ： ? ? ? ?? ?2 2 212121212 3 ~2 11wXYt n nSnn? ? ?????? ? ????當(dāng) 時(shí) ， ? ? ? ? ? ?21 4 1 92212221214222 1 2 1 212 , , , , ,( )