【正文】 0 1 x Y 1 一、二點分布 若一次試驗只有兩種結(jié)果 (A 或 A ) ，如藥品質(zhì)量檢驗分 “合格與不合格”，又如新生的小孩分“男性與女性”等。 [ 定義 11] 若隨機變量 X 的分布為 P （ x ＝ 1 ）＝ p ， P( X = 0) ＝ 1 p 則稱 X 服從以 p (0 ＜ X ＜ 1 ＝為參數(shù)的二點分布， 或 (0 — 1) 分布。 例如：重復(fù) n次拋一枚硬幣；某藥治某病分治愈或不治愈兩種結(jié)果，對 n個病人進行治療；這些試驗均屬于 n重伯努利試驗。那么 3次試驗 A出現(xiàn) 2次的結(jié)果共 1 2 3A A A 1 2 3A A A 1 2 3A A A23CiA個，即 ， [ 定義 12 ] 若隨機變量 X 的概率分布 P n (k) ＝k k n knC p q ? (A ＝ 0 ， 1 ，?， n) 則稱 X 服從參數(shù)為 n,p( 0 ＜ p ＜ 1,q ＝ l — p 的二項分布， 記作 X — B( n,p) 。 例 24 據(jù)報道 ， 有 10％ 的人對某藥有腸道反應(yīng) ，為考核該藥療效 ， 現(xiàn)任選 5人用此藥 ， 試求： (1)有腸道反應(yīng)的人數(shù)的概率分布； 解： 設(shè)服藥后有反應(yīng)事件為 A，則 P(A)=，P( )=， 設(shè) 5人中有腸道反應(yīng)的人數(shù)為隨機變量 X，因此， A（ 1） X～ B(5,)，即 = ()k()5k （ k=0,1,2,?,5 ） 5()Pk 5kC(2)不多于 2人有腸道反應(yīng)的概率； (3)有人有反應(yīng)的概率？ （ 2)P{X≤2} 250()kPk?? ? =++= （ 3） P{X≥1}=1 P5(0)== 三、 泊松分布 [ 定義 13] 若隨機變量 x 的概率分布 ? ?!kP X k ek?? ??? （ k = 0 , 1 , 2 , ??） 則稱 x 服從參數(shù)為 ? ( ? ＞ 0) 的泊松分布， 記作 X 一 P( ? ) 數(shù)學(xué)歷史 適用條件 :稀疏現(xiàn)象，如稀有元素含量；低發(fā)病的發(fā)病人數(shù)；單位時間內(nèi)交換臺呼叫的次數(shù)等 (n＞ 50)很 大， (p＜ )較小， 泊松 (17811840) 法國數(shù)學(xué)家 ,青年時 期曾學(xué)過醫(yī)學(xué) ,后因喜好數(shù)學(xué)于 1798年 入巴黎綜合工科學(xué)院深造。 泊松的科學(xué)生涯開始于研究微分方程及其單擺的運動和聲學(xué)理論中的應(yīng)用。 他對積分理論、熱物理，彈性理論、電磁理論、位勢理論和概率論都有重要貢獻。 解： 設(shè)藥品在運輸途中損壞的件數(shù)為隨機變量 X，從而， X～ B(500,),由于 n=500很大，p=。 a b F(x) 1/(ba) x 均勻分布的分布函數(shù) ： 0()1xaxaF x a x bbaxb?????? ? ???????當(dāng)當(dāng)當(dāng) x a b F(x) 1 正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布 ,例如 測量誤差 , 人的生理特征尺寸如身高、體重等 。SAT的分數(shù) X服從正態(tài)分布 N(500， 1002)；學(xué)生B參加 ACTP考試得了 24分，而 ACTP的分數(shù) Y服從正態(tài)分布 N(18， 62)，就考試得分而言，誰考得更好 ? 解題過程 顯然 A學(xué)生的成績好 第四節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 隨機變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì) 一、數(shù)學(xué)期望的概念 二、五個常見分布的數(shù)學(xué)期望 三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 隨機變量的方差及其性質(zhì) 一、方差的概念 二、方差的性質(zhì) 三、五種常見分布的方差 四、標(biāo)準(zhǔn)差及變異系數(shù) X(m) 人數(shù) 7 10 12 6 5 一、數(shù)學(xué)期望的概念 實例：某班 40人，其身高為隨機變量 X，X的分布情況如下 定義 16 設(shè) X是離散型隨機變量 ,其值取 x1,x2?,對應(yīng)的概率為 p1,p2?, 如果級數(shù) 存在 ,把他稱為 X的數(shù)學(xué)期望 ,記作 E(X) 定義 17 設(shè) X是連續(xù)型隨機變量 , 概率密度函數(shù)為f(x),如果積分 存在 ,則把這個積分值稱為 X的數(shù)學(xué)期望 ,記作 E(X) 二、五種常見分布的數(shù)學(xué)期望 E(X) 二、五種常見分布的數(shù)學(xué)期望 E(X) 二、五種常見分布的數(shù)學(xué)期望 E(X) E(X) 二、五種常見分布的數(shù)學(xué)期望 E(X) ? 二、五種常見分布的數(shù)學(xué)期望 ? ? ? ? ? ? 三 .數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) ? 設(shè) X,Y分別是隨機變量 ,a,b,c是常數(shù) ,由數(shù)學(xué)期望的定義容易得出下列性質(zhì) . 例 29 某種病毒性傳染病可通過驗血檢查。假設(shè)一般人群中該病的陽性者比例為 p＝ 。假定不同人之間的反應(yīng)相互獨立的，這種分組化驗比以往每人化驗 1次可減少多少工作量 ? 解 :4人混合成的血呈陰性反應(yīng)的概率為 。為了刻劃隨機變量 x與數(shù)學(xué)期望的這種分散程度 ， 通常用 [X—E(x)]2 來表示 一、方差的概念 [定義 18] 設(shè)隨機變量 X的 E(x)存在，若期望 存在，則把它稱為 x的方差，記為 D(X)。對 離散型 連續(xù)型 對離散型和連續(xù)型隨機變量計算方差還有下述公式 : 二 . 方差的性質(zhì) (c)＝ 0，即常數(shù) c的方差為 0； (cX)＝ c2D(x)； (X十 b)＝ D(X)； X、 Y相互獨立，則 D(X+Y)＝D(X)+D(Y) 三、五種常見分布的方差 二點分布 三、五種常見分布的方差 二項分布 泊松分布 三、五種常見分布的方差 均勻分布的方差 三、五種常見分布的方差 正態(tài)分布的方差 例 30 在同樣的條件下，用兩種方法測定某一容器內(nèi)細菌個數(shù) (單位：萬 )為隨機變量，分別用 Xl、 X2表示，由大量測定結(jié)果得到分布列如下表，試比較兩種方法的精度 ? 細菌個數(shù) 48 49 50 51 52 方法 1概率 方法 2概率 解：兩種方法的數(shù)學(xué)期望是相同的，都是 50， 為了比較精度，還要考慮方差的大小 經(jīng)過計算 D(X1)=2*+1*+0*+1*+2*=1 D(X2)=2*+2*+2*+2*+2*=2 顯然方法 2的精度高 細菌個數(shù) 48 49 50 51 52 方法 1概率 方法 2概率 分 布 參數(shù) 數(shù)學(xué)期望 方差 兩點分布 二項分布 泊松分布 均勻分布 正態(tài)分布 三、五種常見分布的方差 四、標(biāo)準(zhǔn)差及變異系數(shù) [定義 19] 設(shè)隨機變量 X的方差為 D(X)，則稱 為 X的標(biāo)準(zhǔn)差， 記做 ，即 = [定義 20] 設(shè)隨機變量 X的數(shù)學(xué)期望為 E(X), 標(biāo)準(zhǔn)差為 ，則稱 為變異 系數(shù)，記為 CV(X).可以用百分數(shù)表示。 * 大數(shù)定律和中心極限定理 大數(shù)定律和中心極限定理是數(shù)理統(tǒng)計、醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)、社會統(tǒng)計學(xué)的理論基石，并在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科研中有廣泛 應(yīng)用。 l im 1nnPm ??????? ? ????? 定理 8 （切貝雪夫大數(shù)定理）設(shè)隨機變量 相互獨立且服從同一分布，并且具有相同的有限數(shù)學(xué)期望 和方差 ，作n 個隨機變量的算術(shù)平均數(shù) ，則對任意 ，有 1 , 2 , nx x x? ?11 niixxn?? ?0? ?o? ? 定理 7 （伯努利大數(shù)定理）設(shè) m是 n 次獨立重復(fù)實驗中事件 A發(fā)生的次數(shù)， p是事件 A在每次實驗中發(fā)生的概率，則對任意 ，有 ? ?l im 1n Px ???? ? ? ? 切貝雪夫大數(shù)定律指出， n 充分大，經(jīng)過算術(shù)平均以后得到隨機變量可作為數(shù)學(xué)期望的估計。 是一列獨立同分布的隨機變量，則當(dāng) 時，對任意 x 都有 定理 9 設(shè) 22111()2l imx tnkn kP x e d tn??????? ? ???? ? ? ?????? ?其中 從而 近似服從正態(tài)分布。 生物醫(yī)學(xué)中很多隨機變量均服從正態(tài)分布就是這個原因。知道這些定理的意義，會更加深刻掌握概率論的基礎(chǔ)知識。 引例： A事件代表擲 骰子是大于 3點而小于 6點 ,B事件 代表擲骰子是 6點 ,即 P(A)=2/6, P(B)=1/ :擲骰子點數(shù)大于 3點的概率 ? A事件與 B事件是互不相容事件 , A事件與 B事件的和事件代表擲骰子點數(shù)大于 3點的事件 . P(A+B)=P(A)+ P(B)=2/6+1/6=1/2. 在一批有一定次品率的產(chǎn)品中，連續(xù)兩次抽取產(chǎn)品，每次任取一件。 AB B B解 : P ( ) = P ( B ) , P ( ) = 1 P ( )A A ABB所 以 P ( A B ) = P ( A ) P ( ) = P ( A ) ( 1 P ( ) ) = P ( A ) ( 1 P ( B ) ) = P ( A ) P ( B )AA故 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) , A 與 B 相 互 獨 立 。設(shè)各局勝負相互獨立。 在中心極限定理中， 1nkkx??為什么 近似服從正態(tài)分布 答： 在中心極限定理中， 12,nkkxnnn??????? 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 2( 0 ,1 )N由相互獨立性知 211( ) , ( )nnnkkkE x n D x n????????n 很大， 1nkkx?? 就近似服從正態(tài)分布 2( , )N n n??