函數(shù)模型的應用舉例課件人教a版必修-閱讀頁
2025-01-28 07:25本頁面
【正文】 不知投入 A、 B兩種商品各多少萬元才合算．請你幫助制定一個資金投入方案，使得該經(jīng)營者能獲得最大利潤，并按你的方案求出該經(jīng)營者下月可獲得的最大純利潤 (結果保留兩個有效數(shù)字 )． ? [分析 ] 只給出數(shù)據(jù)，沒明確函數(shù)關系，這樣就需要準確的畫出散點圖．然后根據(jù)圖形選擇合適的函數(shù)模型來解決實際問題． 圖 2 ? [解 ] 以投資額為橫坐標，純利潤為縱坐標，在平面直角坐標系中畫出散點圖，如圖 2所示． ? 觀察散點圖可以看出 ， A種商品的所獲純利潤 y與投資額 x之間的變化規(guī)律可以用二次函數(shù)模型進行模擬 ， 如圖 2① 所示 ． ? 取 (4,2)為最高點 ， 則 y＝ a(x－ 4)2＋ 2， 再把點(1,)代入 ， 得 ＝ a(1－ 4)2＋ 2， 解得 a＝－， 所以 y＝－ (x－ 4)2＋ 2. ? B種商品所獲純利潤 y與投資額 x之間的變化規(guī)律是線性的 ， 可以用一次函數(shù)模型進行模擬 ， 如圖 ② 所示 ． 設 y ＝ kx ＋ b ，取點 ( 1 , ) 和 ( 4 , 1 ) 代入， 得????? ＝ k ＋ b ，1 ＝ 4 k ＋ b ，解得????? k ＝ ，b ＝ 0. 所 以 y ＝ x . ? 即前六個月所獲純利潤 y關于月投資 A種商品的金額x的函數(shù)關系式是 y＝－ (x－ 4)2＋ 2；前六個月所獲純利潤 y關于月投資 B種商品的金額 x的函數(shù)關系式是 y＝ . ? 設下月投入 A、 B兩種商品的資金分別為 xA， xB(萬元 )， 總利潤為 W(萬元 )， 那么????? xA＋ xB＝ 12 ，W ＝ yA＋ yB＝－ ? xA－ 4 ?2＋ 2 ＋ xB. 所以 W ＝－ ( xA－196)2＋ (196)2＋ . 當 xA＝196≈ ( 萬元 ) 時， W 取最大值，約為 萬元，此時 xB≈ ( 萬元 ) ． 即該經(jīng)營者下月把 12 萬元中的 萬元投資 A 種商品， 萬元投資 B 種商品，可獲得最大利潤約為 萬元． ? [點評 ] 根據(jù)題中給出的數(shù)值，畫出散點圖，然后觀察散點圖，選擇合適的函數(shù)模型，并求解新的問題，這是本節(jié)新的解題思路．請同學們在用待定系數(shù)法求解析式時，選擇其它數(shù)據(jù)點，觀察結果的差異． ? 變式體驗 3 蘆薈是一種經(jīng)濟價值很高的觀賞、食用植物，不僅可以美化居室、凈化空氣，又可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內(nèi)占有很大的市場，某人準備進入蘆薈市場，栽培蘆薈，為了了解行情，進入市場調(diào)研，從 4月 1日起，蘆薈的種植成本 Q(單位：元 /10 kg)與上市時間 t(單位：天 )的數(shù)據(jù)情況如下表： 時間 t 50 110 250 種植成本 Q 150 108 150 ? (1)根據(jù)上表數(shù)據(jù) ， 從下列函數(shù)中選取一個最能反映蘆薈種植成本 Q與上市時間 t的變化關系： Q＝ at＋ b； Q＝ at2＋ bt＋ c； Q＝ abt； Q＝ alogbt； ? (2)利用你選擇的函數(shù) ， 求蘆薈種植成本最低時上市天數(shù) t及最低種植成本 ？ ? 解： (1)由所提供的數(shù)據(jù)知，反映蘆薈種植成本 Q與上市時間 t的變化關系不可能是常數(shù)函數(shù)，故用上述四個函數(shù)中任意一個來反映時都應有 a≠0，而函數(shù) Q＝ at＋ b， Q＝ a
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