【正文】 。 B WBW m a x??m ax?W即對(duì)于判斷矩陣 ，計(jì)算滿足 的特征根與特征向量，式中 為 B 的最大 特征根 , 為對(duì)應(yīng)于的正規(guī)化特征向量， W情況下是不可能的。 但是，在一般 為了檢驗(yàn)判斷矩陣的一致性，需要計(jì)算它的一致性指標(biāo) CI； 為了檢驗(yàn)判斷矩陣是否具有令人滿意的一致性，則需要將 CI與平均隨機(jī)一致性指標(biāo) RI（見表 43）進(jìn)行比較，確定隨機(jī)一致性比率 CR，即 RICICR ?并根據(jù) CR的值決定是否需要調(diào)整判斷矩陣，直到滿意的結(jié)果為止。 因此只有第二層一次就完成了相對(duì)于總目標(biāo)的要素優(yōu)先排序 ， 而其它層還沒有完成層次總排序的任務(wù) 。 （四）層次總排序 利用同一層次中所有層次單排序的結(jié)果 ， 就可以計(jì)算針對(duì)上一層次而言的本層次所有元素的重要性權(quán)重值 ， 這就稱為層次總排序 。 對(duì)于最高層 ， 其層次單排序就是其總排序 。 藉此我們可用已求得的上一層的排序結(jié)果作為權(quán)系數(shù) ， 經(jīng)加權(quán)組合求得該層要素相對(duì)于總目標(biāo)的優(yōu)劣排序 。 層次總排序權(quán)值由下表給出 (如表 4— 5所示 )。 11 1?? ?? ?jinimjjWa 前面我們?cè)?jīng)提到層次間存在著 完全的或不完全的層次關(guān)系 ，存在著 主 層次與子層次的從屬關(guān)系 。 不完全的層次關(guān)系的處理方法 以前述圖 4— 3(選聘廠長(zhǎng) )和圖 4— 4(選擇合適的科研項(xiàng)目 )為例 。 但兩例仍有區(qū)別 ， 圖 4— 3中 C層各要素所支配的 D層要素沒有交叉 ， 也即 D層各要素只受著 C層某一要素的支配；而圖 4— 4中 C層各要素所支配的 D層要素有交叉 ， 也即D層要素中有的受著 C層不止一個(gè)要素的支配；這種區(qū)別導(dǎo)致了層要素總排序的方法有所不同 。 在圖 44所示情況中 ， 我們對(duì)于 C層的三個(gè)要素分別建立兩個(gè)三階和一個(gè)四階的判斷矩陣 ， 從而求出三個(gè)特征向量來 ， 假設(shè)對(duì)準(zhǔn)則 1的特征向量為 (d11,d12,d13)；對(duì)準(zhǔn)則 2的特征向量為 (d21,d22,d23)；對(duì)準(zhǔn)則 3 的特征向量 為 (d31,d32,d33 ,d34)。 圖 4— 4所示情況中子層次處理 ，假設(shè) D層六要素的總排序結(jié)果為 Wi(i=1,2,…,6) ,對(duì)于 D層的要素一，我們需建立一個(gè)二階判斷矩陣，求出子層次兩個(gè)要素對(duì)于要素一的權(quán)系數(shù)，以此 為比例系數(shù)將 W1分解為 W11和 W12兩部分，于是子層次的兩個(gè)要素與 D層后五個(gè)要素配合成新形成的 D層要素，這與原來的 D層要素是等價(jià)的，只是在進(jìn)行下一步程序時(shí)，我們應(yīng)以新形成的 D層各要素的準(zhǔn)則進(jìn)行課題間的二元對(duì)比。 AHP在進(jìn)行了全部各層總排序之后，還必須實(shí)施下一個(gè)步驟。 為此 ， 需要按照前述的檢驗(yàn)方法進(jìn)行 。 同樣 ， 當(dāng) CR ， 則認(rèn)為層次總排序的計(jì)算結(jié)果具有令人滿意的一致性；否則 ， 就需要對(duì)本層次的各判斷矩陣進(jìn)行調(diào)整 ， 從而使層次總排序具有令人滿意的一致性 。 建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型 (如圖 42所示 ) 構(gòu)造判斷矩陣 準(zhǔn)則層的功能強(qiáng)、價(jià)格低、易維護(hù)三條準(zhǔn)則對(duì)于總目標(biāo)來說，優(yōu)先次序應(yīng)根據(jù)某人購置電腦的具體要求而定。 A C1 C2 C3 各行之和 正規(guī) 化 C1 C2 C3 計(jì)算判斷矩陣 A— C的最大特征根： ????????????????????????????????131 / 31 / 311 / 5351BW? ? ? ? ? ? ? ? ? ?333332211311m a x????????????? ???? WBWWBWWBWnWBWnWBWi iini ii 判斷矩陣 A— C的一致性檢驗(yàn)： 019 133038 1m a x ????????nnCI?RI ????RICICR查表得 可見判斷矩陣 A— C具有滿意的一致性。 又例： 某工廠在超額完成任務(wù)后，有一筆留成利潤(rùn)要由領(lǐng)導(dǎo)決定如何使用，以調(diào)動(dòng)職工積極性，促進(jìn)生產(chǎn)和技術(shù)發(fā)展?，F(xiàn)在要對(duì)五種方案排出優(yōu)劣順序，以便選定一個(gè)執(zhí)行方案。 A合理使用企業(yè)留成利潤(rùn) P2擴(kuò)建集體福利設(shè)施 圖 4— 5 C1調(diào)動(dòng)職工生產(chǎn)積極性 P1發(fā)獎(jiǎng)金 C2提高企業(yè)技術(shù)水平 C3改善職工物質(zhì)文化生活狀況 P3辦職工業(yè)校 P4建圖書館俱樂部 P5引進(jìn)新設(shè)備 其次 ，根據(jù)各要素的重要關(guān)系構(gòu)造判斷矩陣進(jìn)行計(jì)算，所得判斷矩陣及相應(yīng)計(jì)算結(jié)果如下各表所示。 3 0 ,9 2 3 ,0 2 ???? CRRICI C P C1 C2 C3 層次 P 總排序 P1 0 P2 P3 P4 P5 0 計(jì)算結(jié)果表明 ， 為合理使用企業(yè)留成利潤(rùn) ， 對(duì)該企業(yè)來說 ， 所提出的五種措施的優(yōu)先次序?yàn)?P3， P5， P2， P1， P4。 第三節(jié) 層次分析法的主要應(yīng)用 AHP是從多元決策分析的角度提出的一種簡(jiǎn)便方法。 AHP無需掌握決策因素的大量有關(guān)資料，也省去了大量繁復(fù)冗長(zhǎng)的計(jì)算，它 只需對(duì)決策因素相對(duì)于總目標(biāo)的優(yōu)劣或重要程度進(jìn)行兩兩比較并加以標(biāo)定 ，最終求得方案層要素相對(duì)于總目標(biāo)的優(yōu)劣排序。因此， AHP的排序方法稍加調(diào)整就可借用于其它方面，如 資源分配問題 ， 預(yù)測(cè)與邊際排序 ， 投入產(chǎn)出分析 等，下面將就AHP的主要應(yīng)用作一扼要的介紹。而且隨著社會(huì)物質(zhì)生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)、文化教育、社會(huì)生活的日益發(fā)展變化，決策與評(píng)選問題經(jīng)常地、大量地?cái)[到了人們的面前。生產(chǎn)者要面對(duì)消費(fèi)者和競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手做出最佳的經(jīng)營(yíng)決策；消費(fèi)者在琳瑯滿目的商品面前要做出最佳的購買決策；學(xué)校要選擇有培養(yǎng)前途的學(xué)生；工廠要選擇德才兼?zhèn)溆掠诟母镩_拓的廠長(zhǎng)；研究所要合理選擇科研課題；企事業(yè)單位要評(píng)選先進(jìn) …… 。盡管問題的求解目的不同，但其層次結(jié)構(gòu)模型卻大致相同，除最后一層外，其它各層皆是與判斷有關(guān)的因素排列。 比如要選購自行車、選擇理想的交通工具、選購錄音機(jī)等，最后一層的要素將由同類物品組成，即不同種類的自行車，不同的交通工具，不同型號(hào)的錄音機(jī)等； 如果決策的目的是選廠長(zhǎng)、選運(yùn)動(dòng)員、評(píng)選貢獻(xiàn)大的教師，則最后一層要素應(yīng)該由候選的對(duì)象或人組成；如果要開展企業(yè)評(píng)比、高校管理水平評(píng)價(jià)，則模型的最后一層可以由若干企業(yè)或若干高校組成。 二、 AHP用于預(yù)測(cè) AHP只需將方案層與目標(biāo)層作適當(dāng)調(diào)整就可用于預(yù)測(cè)問題。 a這個(gè) 例如圖 4— 6給出了二十世紀(jì)七十年代末預(yù)測(cè)1985年石油價(jià)格的層次分析模型 ， 借此預(yù)測(cè) 1985年石油價(jià)格增加幅度及期望價(jià)格 。 假定得到的末層排序權(quán)值為 (W1,W2, W3,W4,W5)， 預(yù)期可能提價(jià)幅度為 (a1,a2,a3, a4,a5)；則預(yù)計(jì) 1985年石油提價(jià)幅度為 于是 1985年石油預(yù)期價(jià)格 ? ? ? ? TjjjWWWWWWar5432151,??? ??? ? 01 PrP ???0P是原石油價(jià)格。 他們建立了如下的層次模型 。 假如經(jīng)過一系列判斷分析最后得到第四層的總排序數(shù)值為 (， ， ， )， 則每個(gè)家庭孩子個(gè)數(shù)的期望值為 這一估計(jì)結(jié)果與統(tǒng)計(jì)學(xué)家實(shí)際調(diào)查來的平均數(shù)十分接近。用 AHP可以在一定的范圍內(nèi)解決資源分配問題。 AHP的做法是要根據(jù)各項(xiàng)目的效用和代價(jià)分別排序，各項(xiàng)目在效用上的排序表明了每一種項(xiàng)目能夠滿足投資目標(biāo)的程度，各項(xiàng)目在代價(jià)上的排序則表明了每一種項(xiàng)目的完成要付出多少代價(jià)。 (1)如果只能選定一種項(xiàng)目?jī)H僅對(duì)其配備資源和組織開工 ， 則應(yīng)在效用和代價(jià)的比值中選取最大者 ， 即若 則第 k個(gè)項(xiàng)目為投資興建的工程。 (3)如果所有 n項(xiàng)工程都同時(shí)上馬 ， 而且每一次項(xiàng)目的資源可分階段投入 ， 設(shè)第 i個(gè)項(xiàng)目可分到的資源數(shù)為 Xi,則各項(xiàng)目第一階段的分配額可按下列線性規(guī)劃確定 ， 即 ? ? iniii Xcb?? 1/m a xXXbXXiinii/1????? ?niX i ,2,10 ???目標(biāo)函數(shù)： 約束條件： 非負(fù)限制： 四、 AHP作為相對(duì)系數(shù)近似估計(jì)方法 我們要確定一組物體的相對(duì)重量排序可以采取兩種方式， 一是 將物體一一稱重，假定重量分別為 di(i=1, 2,…,n) ， 則相對(duì)重量排序權(quán)向量為 ??????????? inii dddddd, 21 ? 二是 用 AHP方法將物體重量進(jìn)行兩兩對(duì)比，將比較的印象和感覺量化為判斷矩陣，通過對(duì) 判斷矩陣的求解過程得到這個(gè)相對(duì)重量的 排序向量，這里的每一個(gè)分量表明了每一個(gè)物體重量占物體總重量的比例系數(shù)。不僅重量的相對(duì)或絕對(duì)估計(jì)可采用 AHP來解決，而且許多其它因素，如距離、亮度等也可以仿照 AHP的思路來分析和測(cè)算。 (1)六座城市 xi(i=1, 2,…,6) 與 y城的距離估計(jì) 假如我們對(duì)六座城市與 y城的距離 不詳知，僅僅憑著對(duì)各城市距離 y城 遠(yuǎn)近的印象判斷，我們?nèi)阅艿贸雠袛嗑仃?，解得的特征向量就是六城市與 y城 的相對(duì)距離排序權(quán)重。 表 4— 14 判斷矩陣 6x1x 2x 3x 4x 5x城市 1 1/3 8 3 3 7 3 1 9 3 3 9 1/8 1/9 1 1/6 1/5 2 1/3 1/3 6 1 1/3 6 1/3 1/3 5 3 1 1 1/7 1/9 1/2 1/6 1/6 1 1x2x3x4x5x6x表 4— 15 六個(gè)城市與 y城 距離的測(cè)算值 1x 2x 3x 4x 5x 6x城市 實(shí)際絕對(duì) 距離 (英里 ) 5729 7449 660 2732 3658 400 實(shí)際相對(duì)距離 AHP估計(jì)的 相對(duì)距離 AHP估計(jì)的 絕對(duì)距離 5260 7940 660 3320 3280 540 結(jié)果表明， AHP求得的相對(duì)距離與實(shí)際的相對(duì)距離十分相近。 這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果本來是利用光照度的反平方律算出的 ， 但 Saaty卻是按 AHP的思路來求解的 。 按照光學(xué)反平方律計(jì)算的照度權(quán)重為(， ， ， )，這說明用 AHP導(dǎo)出的結(jié)論與根據(jù)物理定律導(dǎo)出的結(jié)果十分接近，因此 AHP是在某些近似計(jì)量中頗可以得到認(rèn)可的測(cè)度方式。顯然 AHP也可借用到綜合評(píng)價(jià)及其它 多目標(biāo)決策問題當(dāng)中，作為測(cè)定各目標(biāo)或指標(biāo)權(quán)系數(shù)的簡(jiǎn)便方法，由于權(quán)系數(shù)須滿足歸一化要求，故采用 AHP是具備了前提的。