【正文】 ∠ FCE=∠ DBE， 在 △ BED 和 △ CEF 中 ， ∴ △ BED≌ △ CEF， ∴ CF=BD， ∴ 四邊形 BFCD 是平行四邊形， ∵ ∠ BAD=∠ CAD， ∴ BD=CD， ∴ 四邊形 BFCD 是菱形； （ 3）解： ∵ AD 是直徑， AD⊥ BC， BE=CE， ∴ CE2=DE?AE， 設 DE=x， ∵ BC=8， AD=10， ∴ 42=x（ 10﹣ x）， 解得： x=2 或 x=8（舍去） 在 Rt△ CED 中， CD= = =2 ． 【點評】 本題主要考查了圓的有關性質(zhì)：垂徑定理、圓周角定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，熟悉圓的有關性質(zhì)是解決問題的關鍵． (2022一模 )如圖，已知 AD 是 ⊙ O 的直徑， AB、 BC 是 ⊙ O 的弦， AD⊥ BC，垂足是點 E， BC=8， DE=2，求 ⊙ O 的半徑長和 sin∠ BAD 的值． 【考點】 垂徑定理；解直角三角形． 【分析】 設 ⊙ O 的半徑為 r，根據(jù)垂徑定理求出 BE=CE=BC=4， ∠ AEB=90176。 在 Rt△ OEB 中，由勾股定理得： OB2=0E2+BE2，即 r2=42+（ r﹣ 2） 2， 解得： r=5， 即 ⊙ O 的半徑長為 5， ∴ AE=5+3=8， ∵ 在 Rt△ AEB 中，由勾股定理得： AB= =4 ， ∴ sin∠ BAD= = = ． 【點評】 本題考查了垂徑定理，勾股定理，解直角三角形的應用，能根據(jù)垂徑定理求出 BE是解此題的關鍵． (2022模擬 )（本題滿分 10 分）如圖， AB 是 ⊙ O 的弦， C 是 AB 上一點，∠AOC=90176。 天津市南開區(qū) P 是弧 AB 的中點，所以三角形 APB 是等腰三角形，利用勾股定理即可求得． （ 2）根據(jù)垂徑定理得出 OP 垂直平分 BC，得出 OP∥ AC，從而得出 △ ACB∽ △ 0NP，根據(jù)對應邊成比例求得 ON、 AN 的長，利用勾股定理求得 NP 的長，進而求得 PA． 【解答】 解：（ 1）如圖（ 1）所示，連接 PB， ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑且 P 是 的中點， ∴ ∠ PAB=∠ PBA=45176。 又 ∵ 在等腰三角形 △ APB 中有 AB=13， ∴ PA= = = ． （ 2）如圖（ 2）所示：連接 BC． OP 相交于 M 點，作 PN⊥ AB 于點 N， ∵ P 點為弧 BC 的中點， ∴ OP⊥ BC， ∠ OMB=90176。 ∴ ∠ ACB=∠ OMB， ∴ OP∥ AC， ∴ ∠ CAB=∠ POB， 又因為 ∠ ACB=∠ ONP=90176。山西大同 ∠ AOE=60176。 ∠ BOM=∠ COM=60176。 ∴ AB=BM 在△ COM和△ BOM中 OC=OB ∠ COM=∠ BOM OM=OM ∴△ COM≌△ BOM（ SAS） ∴ CM=BM=AB ∴ AB∥ CM ∴ ABCD是菱形 （ 2022一模） 先閱讀材料，再解答問題： 小明同學在學習與圓有關的角時了解到：在同圓或等圓中，同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A周角相等．如圖，點 A、 B、 C、 D 均為 ⊙ O 上的點，則有 ∠ C=∠ D．小明還發(fā)現(xiàn)，若點 E 在 ⊙ O外，且與點 D 在直線 AB 同側，則有 ∠ D＞ ∠ E． 請你參考小明得出的結論，解答下列問題： （ 1）如圖 1，在平面直角坐標系 xOy 中，點 A 的坐標為（ 0， 7），點 B 的坐標為 （ 0， 3），點 C 的坐標為（ 3， 0）． ①在圖 1 中作出 △ ABC 的外接圓（保留必要的作圖痕跡，不寫作法）； ②若在 x 軸的正半軸上有一點 D，且 ∠ ACB=∠ ADB，則點 D 的坐標為 （ 7， 0） ； （ 2）如圖 2，在平面直角坐標系 xOy 中，點 A 的坐標為（ 0， m），點 B 的坐標為（ 0， n），其中 m＞ n＞ 0．點 P 為 x 軸正半軸上的一個動點，當 ∠ APB 達到最大時，直接寫出此時點P 的坐標． 【考點】 圓的綜合題． 【分析】 （ 1） ①作出 △ ABC 的兩邊的中垂線的交點，即可確定圓心，則外接圓即可作出； ②D 就是 ①中所作的圓與 x 軸 的正半軸的交點，根據(jù)作圖寫出坐標即可； （ 2）當以 AB 為弦的圓與 x 軸正半軸相切時，對應的 ∠ APB 最大，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求解． 【解答】 解：（ 1） ① 090M B OC D C M A B? ? ?? ? ?Q又 MCO= 　 　 且 CD ②根據(jù)圖形可得，點 D 的坐標是（ 7， 0）； （ 2）當以 AB 為弦的圓與 x 軸正半軸相切時，作 CD⊥ y 軸，連接 CP、 CB． ∵ A 的坐標為（ 0， m），點 B 的坐標為（ 0， n）， ∴ D 的坐標是（ 0， ），即 BC=PC= ， 在直角 △ BCD 中， BC= ， BD= ， 則 CD= = ， 則 OP=CD= ， 故 P 的坐標是（ ， 0）． 【點評】 本題考查了 垂徑定理以及勾股定理，正確理解當以 AB 為弦的圓與 x 軸正半軸相切時，對應的 ∠ APB 最大，是關鍵． （ 2022一模） （ 本題滿分 10 分）定義：數(shù)學活動課上，樂老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形． 理解：（ 1）如圖 1，已知 A、 B、 C 在格點（小正方形的頂點）上，請在方格圖中畫出以格點為頂點， AB、 BC 為邊的兩個對等四邊形 ABCD； （ 2）如圖 2，在圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中， AB 是 ⊙ O 的直徑， AC=BD．求證：四邊形 ABCD是對等四邊形； （ 3）如圖 3，在 Rt△ PBC 中， ∠ PCB=90176。 在 Rt△ ADB 和 Rt△ ACB 中， ∴ Rt△ ADB≌ Rt△ ACB， ∴ AD=BC， 又 ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑， ∴ AB≠CD， ∴ 四邊形 ABCD 是對等四邊形． （ 3）如圖 3，點 D 的位置如圖所示： ①若 CD=AB，此時點 D 在 D1 的位置， CD1=AB=13； ②若 AD=BC=11，此時點 D 在 D D3 的位置， AD2=AD3=BC=11， 過點 A 分別作 AE⊥ BC， AF⊥ PC，垂足為 E， F， 設 BE=x， ∵ tan∠ PBC= ， ∴ AE= ， 在 Rt△ ABE 中， AE2+BE2=AB2，即 ，解得： x1=5， x2﹣ 5（舍去）， ∴ BE=5， AE=12， ∴ CE=BC﹣ BE=6， 由四邊形 AECF 為矩形，可得 AF=CE=6， CF=AE=12，在 Rt△ AFD2 中， ∴ ， ， 綜上所述， CD 的長度為 1 12﹣ 或 12+ ． 1 （ 2022一模） 如圖，在邊長為 2 的圓內(nèi)接正方形 ABCD 中， AC 是對角線，P 為邊 CD 的中點，延長 AP 交圓于點 E． （ 1） ∠ E= 45 度； （ 2）寫出圖中現(xiàn)有的一對不全等的相似三角形，并說明理由； （ 3）求弦 DE 的長． 【考點】 相似三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理． 【專題】 幾何綜合題． 【分析】 由 “同弧所對的圓周角相等 ”可知 ∠ E=∠ ACD=45176。 ∠ ACD=∠ E， ∴ ∠ E=45