【正文】 情況，讓至少有兩位評委給出 “ 通過 ” 的結(jié)論的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率． 【解答】解：（ 1）畫出樹狀圖來說明評委給出 A 選手的所有可能結(jié)果： ； 第 37 頁（共 92 頁） （ 2） ∵ 由上可知評委給出 A 選手所有可能的結(jié)果有 8種．并且它們是等可能的，對于 A選手，晉級的可能有 4種情況， ∴ 對于 A選手，晉級的概率是： ． 【點評】本題主要考查了樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重不漏地列舉出所有可能發(fā)生的情況，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率 =所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 26．如圖，在平面直角坐標系中 ，正方形 OABC的頂點 O與坐標原點重合，點 C的坐標為（ 0，3），點 A 在 x 軸的負半軸上，點 D、 M分別在邊 AB、 OA上，且 AD=2DB， AM=2MO，一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點 D和 M，反比例函數(shù) y= 的圖象經(jīng)過點 D，與 BC的交點為 N． （ 1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式； （ 2）若點 P在直線 DM 上，且使 △ OPM的面積與四邊形 OMNC的面積相等，求點 P的坐標． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；正方形的性質(zhì)． 【專題】反比例函數(shù)及其應(yīng)用． 【分析】（ 1）由正方形 OABC的頂點 C坐標，確定出邊長，及四個角為直角，根據(jù) AD=2DB，求出 AD 的長，確定出 D 坐標，代入反比例解析式求出 m 的值，再由 AM=2MO，確定出 MO 的長，即 M坐標，將 M 與 D坐標代入一次函數(shù)解析式求出 k與 b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式； （ 2）把 y=3 代入反比例解析式求出 x 的值，確定出 N 坐標，得到 NC 的長，設(shè) P（ x， y），根據(jù) △ OPM 的面積與四邊形 OMNC 的面積相等，求出 y 的值，進而得到 x 的值，確定出 P 坐標即可． 【解答】解：（ 1） ∵ 正方形 OABC的頂點 C（ 0， 3）， ∴ OA=AB=BC=OC=3， ∠ OAB=∠ B=∠ BCO=90176。 9， 當 y=9時， x=﹣ 10，當 y=﹣ 9時， x=8， 則 P坐標為（﹣ 10， 9）或（ 8，﹣ 9）． 【點評】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定一次函數(shù)、反比例函數(shù)解析式，坐標與圖形性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，以及三角形面積計算，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵． 27．如圖，在矩形 OABC 中， OA=3， OC=2， F是 AB上的一個動點（ F不與 A， B重合），過點F的反比例函數(shù) y= （ k＞ 0）的圖象與 BC邊交于點 E． （ 1）當 F為 AB的中點時，求該函數(shù)的解析式； （ 2）當 k為何值時， △ EFA 的面積最大，最大面積是多少？ 第 39 頁（共 92 頁） 【考點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)的最值． 【分析】（ 1）當 F為 AB 的中點時，點 F的坐標為（ 3， 1），由此代入求得函數(shù)解析式即可； （ 2）根據(jù)圖中的點的坐標表示出三角形的面積，得到關(guān)于 k 的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求出最值即可． 【解答】解：（ 1） ∵ 在矩形 OABC中， OA=3， OC=2， ∴ B（ 3， 2）， ∵ F為 AB的中點， ∴ F（ 3， 1）， ∵ 點 F在反比例函數(shù) y= （ k＞ 0）的圖象上， ∴ k=3， ∴ 該函 數(shù)的解析式為 y= （ x＞ 0）； （ 2）由題意知 E， F兩點坐標分別為 E（ ， 2）， F（ 3， ）， ∴ S△ EFA= AF?BE= k（ 3﹣ k）， = k﹣ k2 =﹣ （ k2﹣ 6k+9﹣ 9） =﹣ （ k﹣ 3） 2+ 當 k=3時， S有最大值． S 最大值 = ． 【點評】此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定反比例解析式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵． 第 40 頁（共 92 頁） 28．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 y=ax2+bx+c 的頂點坐標為（ 2， 9），與 y 軸交于點 A（ 0， 5），與 x軸交于點 E、 B． （ 1）求二次函數(shù) y=ax2+bx+c的表達式； （ 2）過點 A作 AC 平行于 x軸，交拋物線于點 C，點 P為拋物線上的一點（點 P在 AC上方），作 PD 平行與 y 軸交 AB 于點 D，問當點 P 在何位置時，四邊形 APCD 的面積最大？并求出最大面積； （ 3）若點 M在拋物線上，點 N在其對稱軸上，使得以 A、 E、 N、 M為頂點的四邊形是平行四邊形，且 AE 為其一邊，求點 M、 N的坐標． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（ 1）設(shè)出拋物線解析式，用待定系數(shù)法求解即可； （ 2）先求出直線 AB 解析式，設(shè)出點 P 坐標（ x，﹣ x2+4x+5），建立函數(shù)關(guān)系式 S 四邊形 APCD=﹣ 2x2+10x，根據(jù)二次函數(shù)求出極值； （ 3）先判斷出 △ HMN≌△ AOE，求出 M點的橫坐標，從而求出點 M， N的坐標． 【解答】解：（ 1）設(shè)拋物線解析式為 y=a（ x﹣ 2） 2+9， ∵ 拋物線與 y軸交于點 A（ 0， 5）， ∴ 4a+9=5， ∴ a=﹣ 1， y=﹣（ x﹣ 2） 2+9=﹣ x2+4x+5， （ 2）當 y=0時，﹣ x2+4x+5=0， 第 41 頁（共 92 頁） ∴ x1=﹣ 1， x2=5， ∴ E（﹣ 1， 0）， B（ 5， 0）， 設(shè)直線 AB的解析式為 y=mx+n， ∵ A（ 0， 5）， B（ 5， 0）， ∴ m=﹣ 1， n=5， ∴ 直線 AB的解析式為 y=﹣ x+5； 設(shè) P（ x，﹣ x2+4x+5）， ∴ D（ x，﹣ x+5）， ∴ PD=﹣ x2+4x+5+x﹣ 5=﹣ x2+5x， ∵ AC=4， ∴ S 四邊形 APCD= AC PD=2（﹣ x2+5x） =﹣ 2x2+10x， ∴ 當 x=﹣ = 時， ∴ 即：點 P（ ， ）時， S 四邊形 APCD最大 = ， （ 3）如圖， 過 M作 MH垂直于對稱軸，垂足為 H， ∵ MN∥ AE， MN=AE， ∴△ HMN≌△ AOE， ∴ HM=OE=1， ∴ M點的橫坐標為 x=3 或 x=1， 第 42 頁（共 92 頁） 當 x=1時， M點縱坐標為 8， 當 x=3時， M點縱坐標為 8， ∴ M點的坐標為 M1（ 1， 8）或 M2（ 3， 8）， ∵ A（ 0， 5）， E（﹣ 1， 0）， ∴ 直線 AE解析式為 y=5x+5， ∵ MN∥ AE， ∴ MN的解析式為 y=5x+b， ∵ 點 N在拋物線對稱軸 x=2 上， ∴ N（ 2， 10+b）， ∵ AE2=OA2+0E2=26 ∵ MN=AE ∴ MN2=AE2， ∴ MN2=（ 2﹣ 1） 2+[8﹣（ 10+b） ]2=1+（ b+2） 2 ∵ M點的坐標為 M1（ 1， 8）或 M2（ 3， 8）， ∴ 點 M1， M2關(guān)于拋物線對稱軸 x=2對稱， ∵ 點 N在拋物線對稱軸上， ∴ M1N=M2N， ∴ 1+（ b+2） 2=26， ∴ b=3，或 b=﹣ 7， ∴ 10+b=13或 10+b=3 ∴ 當 M點的坐標為（ 1， 8）時， N點坐標為（ 2， 13）， 當 M點的坐標為（ 3， 8）時， N點坐標為（ 2， 3）， 【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，函數(shù)極值額確定方法，平行四邊形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式求極值． 29．某中學(xué)廣場上有旗桿如圖 1所示，在學(xué)習(xí)解直角三角形以后，數(shù)學(xué)興趣小組測量了旗桿的高度．如圖 2，某一時刻，旗桿 AB 的影子一部分落在平臺上，另一部分落在斜坡上，測得落在平臺上的影長 BC為 4米，落在斜坡上的影長 CD為 3米， AB⊥ BC，同一時刻，光線與水平面的夾角為 72176。 ≈ ， cos72176。 ≈ ） 第 43 頁（共 92 頁） 【考點】解直角三角形的應(yīng)用． 【分析】如圖作 CM∥ AB 交 AD于 M， MN⊥ AB 于 N，根據(jù) = ，求出 CM，在 RT△ AMN 中利用 tan72176。 ， MN=BC=4， ∠ AMN=72176。= ， ∴ AN≈ ， ∵ MN∥ BC， AB∥ CM， ∴ 四邊形 MNBC是平行四邊形， ∴ BN=CM= ， ∴ AB=AN+BN=． 【點評】本題考查解直角三角形、三角函數(shù)，影長等知識，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型． 第 44 頁（共 92 頁） 30．（ 2022?菏澤）南沙群島是我國固有領(lǐng)土，現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進行捕魚作業(yè)，當漁船航行至 B處時，測得該島位于正北方向 20（ 1+ ）海里的 C處，為了防止某國海巡警干擾，就請求我 A 處的漁監(jiān)船前往 C 處護航，已知 C 位于 A 處的北偏東 45176。 的方向上，求 A、 C 之間的距離． 【考點】解直角三角形的應(yīng)用 方向角問題． 【分析】作 AD⊥ BC，垂足為 D，設(shè) CD=x，利用解直角三角形的知識，可得出 AD，繼而可得出 BD，結(jié)合題意 BC=CD+BD 可得出方程，解出 x的值后即可得出答案． 【解答】解：如圖，作 AD⊥ BC，垂足為 D， 由題意得， ∠ ACD=45176。 ． 設(shè) CD=x，在 Rt△ ACD中，可得 AD=x， 在 Rt△ ABD中，可得 BD= x， 又 ∵ BC=20（ 1+ ）， CD+BD=BC， 即 x+ x=20（ 1+ ）， 解得： x=20， ∴ AC= x=20 （海里）． 答： A、 C之間的距離為 20 海里． 第 45 頁（共 92 頁） 【點評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進行求解，難度一般． 31．如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為 1個單位的正方形． Rt△ ABC的頂點均在格點上，建立平面直角坐標系后，點 A的坐標為（﹣ 4， 1），點 B的坐標為（﹣ 1， 1）． （ 1）將 Rt△ ABC繞點 O順時針旋轉(zhuǎn) 90176。 ， ∠ BAC的角平分線 AD 交 BC邊于 D．以 AB 上某一點 O為圓心作 ⊙ O，使 ⊙ O經(jīng)過點 A和點 D． （ 1）判斷直線 BC與 ⊙ O的位置關(guān)系，并說明理由； （ 2）若 AC=3， ∠ B=30176。 角的直角三角形的性質(zhì)得出 OB=2OD=2r， AB=2AC=3r，從而求得半徑 r的值； ② 根據(jù) S 陰影 =S△ BOD﹣ S 扇形 DOE求得即可． 【解答】解：（ 1）直線 BC 與 ⊙ O相切； 連結(jié) OD， ∵ OA=OD， ∴∠ OAD=∠ ODA， 第 47 頁（共 92 頁） ∵∠ BAC的角平分線 AD交 BC邊于 D， ∴∠ CAD=∠ OAD， ∴∠ CAD=∠ ODA， ∴ OD∥ AC， ∴∠ ODB=∠ C=90176。 ， ∴ OB=2r， 在 Rt△ ACB中， ∠ B=30176。 ， ∴∠ BOD=60176。 ， OD⊥ BC， ∴ OB=2OD， ∴ AB=3OD， ∵ AB=2AC=6， ∴ OD=2， BD=2 S△ BOD= OD?BD=2 ， ∴ 所求圖形面積為 ． 【點評】本題考查了切線的判定，含有 30176。 ，則第 50 頁（共 92 頁） AB2+AC2=BC2；若 ∠ ACB=90176。 ，則 AB2+BC2=AC2三種情況求得 m的值，從而確定點 C的坐標； 【解答】解：（ 1） ∵ 點 A是直線與拋物線的交點，且橫坐標為﹣ 2， ∴ y= （﹣ 2） 2=1， A點的坐標為（﹣ 2， 1）， 設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為 y=kx+b， 將（ 0， 4），（﹣ 2， 1）代入得 ， 解得 ， ∴ 直線 y= x+4， 由 ，解得 或 ∴ 點 B的坐標為（ 8， 16）； （ 2）如圖，連接 AC， BC， ∵ 由 A（﹣ 2， 1）， B（ 8， 16）可求得 AB2=325． 設(shè)點 C（ m， 0），同理可得 AC2=（ m+2） 2+12=m2+4m+5， BC2=（ m﹣ 8） 2+162=m2﹣ 16m+320， ① 若 ∠ BAC=90176。 ，則 AB2=AC2+BC2，即 325=m2+4m+5+m2﹣ 16m+320， 解得： m=0或 m=6； ③ 若 ∠ ABC=90176。 ． 在 Rt△ BEC中， ∠ CEB=90176。 ， OB=4， tan∠ ABO= ， ∴ OA=OB?tan∠ ABO=4 =2． ∵ S△ BAF= AF?OB= （ OA+OF） ?OB= （ 2+ ） 4=4+ ． ∵ 點 D在反比例函數(shù) y=﹣ 第四象限的圖象上， ∴ S△ DFO= |﹣ 6|=3．