【正文】 計(jì)算，最后在計(jì)算具體結(jié)果，這樣便能省去不少計(jì)算量。 【主要考點(diǎn)】 對(duì)于這樣一個(gè)式子 ,如果我們用一般方法來(lái)算，肯定是會(huì)很復(fù)雜，那么我們來(lái)觀察一下 ，它是不是可以寫(xiě)成 ，如果當(dāng)分母上的兩個(gè)數(shù)相差 時(shí)，也就是 ，我們來(lái)看 把它分成兩項(xiàng)（兩個(gè)分式）是不是可以寫(xiě)成 ，這就是我們的裂項(xiàng)法，分母上 和 兩項(xiàng)通分后我們?cè)趤?lái)觀察和 的區(qū)別。 解析：由題知， 的通項(xiàng)是等差數(shù)列 的通項(xiàng)與等比數(shù)列 的通項(xiàng)之積。 放縮法所運(yùn)用到的一個(gè)定理，這個(gè)定理我們學(xué)過(guò)，就是我們高中時(shí)候?qū)W過(guò)的夾逼定理。 設(shè) 是正整數(shù)，求證： ≤ ≤ 1。 【主要考點(diǎn)】 一般地，當(dāng)給出第 項(xiàng)和第 項(xiàng)之間的計(jì)算關(guān)系式時(shí)，我們通過(guò)對(duì)此關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，最后得到一個(gè)我們熟悉的新數(shù)列，然后再進(jìn)行求通項(xiàng)、求前 項(xiàng)的和等運(yùn)算。 一列數(shù)排成一排 ，滿足下面關(guān)系式 ，若 =1，則 = A． 1 B． C． 2022 D． 解析：由 可得： ，即 是一個(gè)公差為 1的等差數(shù)列，首項(xiàng)為 =1，那么 ，故 。 核心知識(shí)點(diǎn)： 作差法： 作比法： 中間值法 倒數(shù)法：相近分?jǐn)?shù)比較大小時(shí)，可通過(guò)比較分?jǐn)?shù)倒數(shù)的大小來(lái)比較原分?jǐn)?shù)的大小。 【題型特征】 公務(wù)員考試必考題型，數(shù)學(xué)運(yùn)算中最重要的題型之一。 【經(jīng)典例題】 ，裝有同樣多的油。則兩桶油原來(lái)各裝有多少千克油？（ ） 【答案】 C。 、黑兩種筆共 66 枝，紅筆每枝定價(jià) 5 元，黑筆每枝定價(jià) 9 元，由于買(mǎi)的數(shù)量較多，商店就給予了優(yōu)惠，紅筆按定價(jià)的 付錢(qián)，黑筆按定價(jià)的 付錢(qián)，如果他付的錢(qián)比按定價(jià)少 ，那么他買(mǎi)了紅筆多少枝？（ ） 【答案】 A。5）：（ 3247。 相遇問(wèn)題： 【知識(shí)要點(diǎn)】 甲從 A 地到 B 地，乙從 B 地到 A 地，然后甲，乙在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是兩人共同走了 A、 B 之間這段路程，如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么 A， B 兩地的路程 =（甲的速度 +乙的速度） 相遇時(shí)間 =速度和 相遇時(shí)間 相遇問(wèn)題的核心是 “速度和 ”問(wèn)題。已知甲車(chē)速度是 60 千米 /時(shí)，乙車(chē)速度是 40 千米 /時(shí)，那么，甲車(chē)提前了多少分出發(fā) （ ）分鐘。 方法 方程法：設(shè)兩車(chē)一起走完 A、 B 兩地所用時(shí)間為 x,甲提前了y 時(shí)，則有 , (60+40)x=60[y+(x30)]+40(x30), y=50 方法 甲提前走的路程 =甲、乙 共同走 30 分鐘的路程，那么提前走的時(shí)間為， 30（ 60+40） /60=50 甲、乙二人同時(shí)從相距 60 千米的兩地同時(shí)相向而行， 6 小時(shí)相遇。又知甲的速度比乙的速度快，乙原來(lái)的速度為（ ） 千米 /時(shí) 千米 /時(shí) 千米 /時(shí) 千米 /時(shí) 解析：【答案】 B。6=10 千米 /時(shí)，現(xiàn)在兩人相遇時(shí)間為 60247。注意：在解決這種問(wèn)題的時(shí)候一定要先判斷誰(shuí)的速度快。 次相遇問(wèn)題： 【知識(shí)要點(diǎn)】 甲從 A 地出發(fā)，乙從 B 地出發(fā)相向而行，兩人在 C 地相遇，相遇后甲繼續(xù)走到 B 地后返回，乙繼續(xù)走到 A 地后返回，第二次在 D 地相遇。 【經(jīng)典例題】 甲乙兩車(chē)同時(shí)從 A、 B 兩地相向而行，在距 B 地 54 千米處相遇，它們各自到達(dá)對(duì)方車(chē)站后立即返回，在距 A 地 42 千米處相遇。 方法 方程法：設(shè)兩地相距 x 千米 ，由題可知，第一次相遇兩車(chē)共走了 x，第二次相遇兩車(chē)共走了 2x，由于速度不變，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分別為第一次相遇的二倍，即 542=x54+42，得出x=120。 ： 【知識(shí)要點(diǎn)】 有甲，乙同時(shí)行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走的慢的走在前，走得快的過(guò)一段時(shí)間就能追上。實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是要計(jì)算兩人都的速 度差。 【經(jīng)典例題】 一列快車(chē)長(zhǎng) 170 米，每秒行 23 米，一列慢車(chē)長(zhǎng) 130 米，每秒行18 米。設(shè)需要 x 秒快車(chē)超過(guò)慢車(chē)，則（ 2318） x=170+130，得出 x=60 秒。 【知識(shí)要點(diǎn)】 我們知道，船順?biāo)叫袝r(shí)，船一方面按自己本身的速度即船速在水面上行進(jìn)，同時(shí)整個(gè)水面又按水流動(dòng)的速度在前進(jìn)，因此船順?biāo)叫械膶?shí)際速度（簡(jiǎn)稱(chēng)順?biāo)俣龋┚偷扔诖俸退俚暮停矗? 順?biāo)俣?=船速 +水速 同理：逆水速度 =船速 水速 可推知：船速 =（順?biāo)俣?+逆水速度） /2；水速 =（順?biāo)俣?逆水速度） /2 【經(jīng)典例題】 一艘輪船從河的上游甲港順流到達(dá)下游的丙港，然后調(diào)頭逆流向上到達(dá)中游的乙港，共用了 12 小時(shí)。則甲、丙兩港間的距離為（ ） 千米 千米 千米 千米 解析：【答案】 A。 方法 方程法：設(shè)甲、丙兩港間距離為 X 千米，可列方程 X247。4=12 解得 X=44。8=39/4，從乙到丙順?biāo)脮r(shí)間是逆水的 1/2，順?biāo)叫袝r(shí)間 =39/41/3=13/4，則乙丙距離 =13/48=26，故所求距離 =18+26=44。 【經(jīng)典例題】 一篇文章，甲乙兩人合譯，需 10 小時(shí)完成，乙丙合譯， 需 12 小時(shí)完成，現(xiàn)先由甲丙合譯 4 小時(shí)，剩下再由乙獨(dú)譯，需 12 小時(shí)完成，求乙單獨(dú)翻譯需多少小時(shí)？ 解析：方程法：設(shè)單獨(dú)完成甲需 a 小時(shí)，乙需 b 小時(shí)，丙需 c 小時(shí)。從而有， 乙 2 小時(shí)工作量 =丙 8 小時(shí) 工作量，可知，乙丙速度比 =4： 1,則丙工作 12 小時(shí)相當(dāng)于乙工作 3 小時(shí)，則乙單獨(dú)需 =12+3=15 小時(shí)。已知濃度為 30%的溶液用量是濃度為 20%的溶液用量的 2倍，濃度為 30%的溶液的用量是多少升？ 解析：法 方程法： 法 十字交叉法： 20% 14% /2 30% 36% 6% 50% 16% 50 /2 故有： 14%（ 50 /2） = 16%（ /2） + 6 %， =20。 核心公式：利潤(rùn) =銷(xiāo)售價(jià) 成本 利潤(rùn)率 =利潤(rùn) /成本 =（銷(xiāo)售價(jià) 成本） /成本 =銷(xiāo)售價(jià) /成本 1。解析：先賣(mài)掉 60%收回的錢(qián)為 1（ 1+30%） 60%=78%，后賣(mài)掉 40%收回的錢(qián)為 1（ 1+30%） 80%（ 1－ 60%） =%，故實(shí)際利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)為 78%+%－ 100%=%。這種商品每個(gè)定價(jià)多少元？（ ） 【答案】 D。8=15 元，少獲得45－ 15=30 元，故每個(gè)定價(jià)為 30247。 24. 牛吃草問(wèn)題 【題型特征】 2022 年后的公務(wù)員考試中出現(xiàn)了一些較難的 “牛吃草 ”問(wèn)題，這類(lèi)題在理解上有一定的難度，但如果掌握了關(guān)鍵點(diǎn)，便較容易解答。 草場(chǎng)每天生長(zhǎng)的草量； 牛每天吃的草量。 單位： 1 頭牛 1 天吃草 的量 【經(jīng)典例題】 一片牧草，可供 16 頭牛吃 20 天，也可以供 20 頭牛吃 12 天，那么 25 頭牛幾天可以吃完？ 解析：法 1（方程法），等量關(guān)系：原有草量相等。 （牛吃草速度 草生長(zhǎng)速度） 時(shí)間（天數(shù)） =原有草量 20（ 16 ） =12（ 20 ） = （ 25 ） , =8, =10. 法 3（利用基本關(guān)系式） 總量的差 /時(shí)間差 =每天長(zhǎng)草量，（ 16202012） /（ 2012） =10； 原有草量 =牛吃草總量 新長(zhǎng)出草量， 16202010=120； 25 頭牛分 10 頭吃每天長(zhǎng)出的草，還剩 15 頭吃原有的草， 120/15=8天。用 5 臺(tái)抽水機(jī) 20 小時(shí)可將水抽完，用 8 臺(tái)抽水機(jī) 15 小時(shí)可將水抽完。（ 20－ 15） =4 份水； 原來(lái)有水量： 815415=60 份； 用 4 臺(tái)抽涌出的水量， 10 臺(tái)抽原有的水，需 60/10=6 小時(shí)。其中 58 人喜歡看球賽， 38 人喜歡看戲劇， 52 人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有 18 人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16 人，三種都喜歡看的有 12 人，則只喜歡看電影的有： A． 22 人 B． 28 人 C． 30 人 D． 36 人 （ 2022 年國(guó)家 A 類(lèi)行測(cè)真題） 正確答案【 A】 解法 1：設(shè) A＝喜歡看球賽的人（ 58）， B＝喜歡看戲劇的人（ 38），C＝喜歡看電影的人（ 52），則有： A∩B＝既喜歡看球賽的人又喜歡看戲劇的人（ 18） B∩C＝既喜歡看電影又喜歡看戲劇的人（ 16） A∩B∩C＝三種都喜歡看的人（ 12） A∪ B∪ C＝看球賽和電影、戲劇至少喜歡一種（ 100） 根據(jù)公式： A＋ B＋ C＝ A∪ B∪ C＋ A∩B＋ B∩C＋ C∩A－ A∩B∩C C∩A＝ A＋ B＋ C－（ A∪ B∪ C＋ A∩B＋ B∩C－ A∩B∩C） ＝ 148－（ 100＋ 18＋ 16－ 12）＝ 26 所以，只喜歡看電影的人＝ C－ B∩C－ C∩A＋ A∩B∩C ＝ 52－ 16－ 26＋ 12＝ 22 【題型特征】 我們先來(lái)看一個(gè)例子，如果將 13 只鴿子放進(jìn) 6 只鴿籠里，那么至少有一只籠子要放 3 只或更多的鴿子。如果每只鴿籠里只放 2只鴿子， 6 只鴿籠共放 12 只鴿子。這個(gè)例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，就是下面的抽屜原理 2。 抽屜原理 2：將多于 mn 件的物品任意放到 n 個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品的件數(shù)不少于 m+1。問(wèn)：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有 3 塊號(hào)碼相同的木塊？ 解析：將 1， 2， 3， 4 四種號(hào)碼看成 4 個(gè)抽屜。所以一次至少要取出 9 塊木塊，才能保證其中有 3 塊號(hào)碼相同 的木塊。 27. 排列組合問(wèn)題 【題型特征】 加法原理：做一件事，完成它可以有 n 類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有m1 種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有 m2 種不同的方法， …… ，在第 n類(lèi)辦法中有 mn 種不同的方法，那么完成這件事共有： N=m1+m2+…+mn 種不同方法。 排列 從 n 個(gè)不同元素中，任取 m( )個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從 n 個(gè)不同元素中取 出 m 個(gè)元素的一個(gè)排列 1. 什么叫不同的排列？ //**元素和順序至少有一個(gè)不同 .// 2. 什么叫相同的排列？ //**元素和順序都相同的排列 .// 排列數(shù) 從 n 個(gè)不同元素中，任取 m 個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從 n 個(gè)元素中取出 m 元素的排列數(shù)，用符號(hào) 表示 . 其中 =n（ n1）（ n2） … （ nm+1） 例題：由數(shù)字 4 可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 組合 從 n 個(gè)不同元素種取出 m 個(gè)元素拼成一組，稱(chēng)為從 n 個(gè)不同元素取出 m 個(gè)元素的一個(gè)組合 組合數(shù) 從 n 個(gè)不同元素中，任取 m 個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)叫做從 n 個(gè)元素中取出 m元素的組合數(shù)，用符號(hào) 表示 . 其中 = n（ n1）（ n2） … （ nm+1）/m! 組合數(shù)性質(zhì)： 二項(xiàng)式定理基礎(chǔ)知識(shí)： 【經(jīng)典例題】 1：某鐵路線上有 25 個(gè)大小車(chē)站，那么應(yīng)該為這條路線準(zhǔn)備多少種不同的車(chē)票 ( )。相對(duì)應(yīng)的我們看下面這道題 2：從 6 名男生， 5 名女生中任選 4 人參加競(jìng)賽，要求男女至少各 1名，有多少種不同選法？ A． 240 解析；此題中正面考慮情況比較多，采用間接法，至少 1 名的反面就是分別只選男生或者女生，故共有 =310 種 3． 6 個(gè)人站成一排，要求甲、乙必須相鄰，那么有多少種不同的排法？ A． 280 解析：將甲、乙 “捆綁 ”在一起，看做是一個(gè)人參與排列，注意甲乙本身 的順序（即甲在乙的左邊還是右邊），那么共有： =24