【文章內(nèi)容簡介】 ：幾個(gè)自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一個(gè)稱為這幾個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。 公倍數(shù)：幾個(gè)自 然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小的一個(gè)大于零的公倍數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)問題在日常生活中的應(yīng)用非常廣泛，故而成為公務(wù)員考試中比較常見的題型。這類問題一旦真正理解，計(jì)算起來相對簡單。下面通過例題來加深大家對最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)概念的理解。 例題 1： 有兩個(gè)兩位數(shù)，這兩個(gè)兩位數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和是 91，最小公倍數(shù)是最大公約數(shù)的 12 倍，求這較大的數(shù)是多少？ 【答案】 D。解析：這道 例題非常清晰的點(diǎn)明了主旨，就是最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)問題，那么我們可以根據(jù)定義來解決。這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是 91247。 （ 12+1）=7，最小公倍數(shù)是 712=84 ，故兩數(shù)應(yīng)為 21和 28。 例題 2： 三根鐵絲，長度分別是 120厘米、 180厘米、 300厘米，現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成多少段？ 【答案】 C。解析：這道例題中隱含了最大公約數(shù)的關(guān)系。 “ 截成相等的小段 ” ，即為求三數(shù)的公約數(shù)， “ 最少可截成多少段 ” ，即為求最大公約數(shù)。 每小段的長度是 1 180、 300的約數(shù)，也是 1 180 和 300的公約數(shù)。 1 180和 300的最大公約數(shù)是 60，所以每小段的長度最大是 60厘米，一共可截成120247。60+180247。60+300247。60=10 段。 關(guān)于數(shù)的整除特性，中公教育的教材上講的已經(jīng)很詳細(xì)了，但是還是不斷有學(xué)員問相關(guān)的題型，看來大家還是不能夠完全把握此類規(guī)律。我在這里做個(gè)表格，方便大家的理解和記憶。 可以被整除的數(shù)字 特性 2 偶數(shù) 3 每位數(shù)字相加的和是 3的倍數(shù) 4 末兩位是 4的倍數(shù) 5 末位數(shù)字是 0或者 5 6 能同時(shí)被 2和 3整除 7 末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差（以大減?。┠鼙?7整除 8 末三位是 8的倍數(shù) 9 每位數(shù)字相加的和是 9的倍數(shù) 10 末位數(shù)字是 0 11 1,奇數(shù)位置上的數(shù)字和與偶數(shù)位置上的數(shù)字和之間的差 (以大減小 )是能被11整除 2,任何一個(gè)三位數(shù)連寫兩次組成的六位數(shù) 3，末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差（以大減?。┠鼙?11 整除 12 能同時(shí)被 3和 4整除 13 末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差（以大減?。┠鼙?13 整除 25 末兩位數(shù)是 25的倍數(shù) 125 末三位是 125的倍數(shù) 5. 空瓶問題 公務(wù)員考試中的數(shù)學(xué)運(yùn)算中經(jīng)常出現(xiàn) “ 空瓶換水的問題 ” 有的考生由于抓不住此類問題的關(guān)鍵，解題時(shí)往往不夠準(zhǔn)確和迅速。在空瓶換水這類題目中往往都有這樣的字眼：幾個(gè)空瓶換一瓶飲料。這就是題目的關(guān)鍵所在，它告訴了我們多少空瓶可以換一個(gè)瓶子中的飲料。還有些題目將這個(gè)換為的未知的，解題的思路依然不變?？磶讉€(gè)例題： 例 4個(gè)礦泉水空瓶可以換一瓶礦泉水，現(xiàn)有 15 個(gè)礦泉水空瓶，不交錢最多可以喝礦泉水： 解：由題意： 3個(gè)空瓶相當(dāng)于一個(gè)瓶子中的礦泉水，顯然選 C。 例 ，某班同學(xué)喝了 157瓶汽水，其中有一些是用喝剩下來的空瓶換的，那么他們至少要買多少瓶汽水？ A． 131 B． 130 C． 128 D． 127 解： 5個(gè)空瓶相當(dāng)于一個(gè)瓶子中的水，代入算得 A符合題意。 例 1瓶，旅游團(tuán) 110個(gè)旅客集中 到冷飲店每人購買了 1瓶汽水，他們每喝完一定數(shù)量的汽水就用空瓶去換 1瓶原裝汽水，這樣他們一共喝了 125瓶汽水，則冷飲店規(guī)定幾個(gè)空瓶換 1 瓶原裝汽水？ 解：用代入法檢驗(yàn)各個(gè)選項(xiàng)比較快的能得出答案。 8個(gè)空瓶換一瓶水就相當(dāng)于 7個(gè)空瓶子換一個(gè)瓶子中的水。 學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果行數(shù)與列數(shù)相等，則剛好排成一個(gè)正方形，這種隊(duì)形就叫方隊(duì)，也叫做方陣。要求方陣的人數(shù)關(guān)鍵是要準(zhǔn)確把握方陣問題的核心公式： 1：方陣總?cè)?數(shù) =最外層每邊人數(shù)的平方。 2：方陣最外層每邊人數(shù) =（方陣最外層總?cè)藬?shù)的四分之一再加 1。 3：方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層人數(shù)多 8. 4：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù) =去掉的每邊人數(shù)的 2倍減去 1。 在大家不斷的做題中，總會(huì)碰到這樣一些詞語 “ 至多 ” ， “ 至少 ” 這些關(guān)鍵詞，由這些關(guān)鍵詞語組成的問題我們就叫不定問題，不定問題的一個(gè)重要思維就是不定方程，通過列不定方程來把這些不確定的關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)化，數(shù)量化。 .例 1：今有桃 95個(gè)，分給甲、乙兩個(gè)工作組的工人吃，甲組分到的桃有 2/9 是壞的，其他是好的，乙組分到的桃有 3/16 是壞的，其他是好的。甲、乙兩組分到的好桃共有（ ）個(gè) 【答案】 B。解析：甲組分到的桃是 9的倍數(shù)，乙組分到的桃是 16的倍數(shù)，故9m+16n=95，解得 m=7， n=2，即甲組分到桃 97=63 個(gè)，乙組分到桃 162=32 個(gè)。兩組共分到好桃 63 （ 1－ 2/9 ） +32 （ 1－ 3/16 ） =75個(gè)。 例 2：甲、乙、丙三人去買書，他們買書的本數(shù)都是兩位數(shù)字，且甲買的書最多，丙買的書最少，又知這些書的總和是偶數(shù)，他們 的積是 3960，那么乙最多買多少本書？（ ） 【答案】 A。解析：設(shè)甲、乙、丙分別買書 x本、 y本、 z本，則（ x+y+z）是偶數(shù)，可知 x、 y、 z 或者都是偶數(shù)，或者兩奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)， xyz=3960=2332511 ，若 x、 y、 z都是偶數(shù)，則分別為 211=22 ， 232=18 ， 25=10 ；若 x、 y、 z是兩奇一偶，則分別為 233=24 ， 35=15 ， 11。故乙最多買 18 本。 一般來說栽樹問題有兩類：一類是不封閉的路線，如在馬路 兩邊植樹；另一類是封閉的路線，如在正方形操場邊上植樹。下面就這兩類情況分別予以介紹。 首先要注意的是栽樹問題要明確三要素： 總路線長； 間距（棵距）長； 棵數(shù)。只要知道其中任意兩個(gè)量，就可以求出第三個(gè)。 一、直線路線 比如題目要求在馬路一旁栽 1排樹，并且在線路兩端都要植樹，則棵數(shù)要比段數(shù)多 1。全長、棵數(shù)、株距三者之間的關(guān)系是： 棵數(shù) = 段數(shù) +1=全長 247。 株距 +1； 全長 = 株距 （棵數(shù) 1）； 株距 = 全長 247。 （棵數(shù) 1） 例 （ 2022國家行測）為把 2022年 北京奧運(yùn)會(huì)辦成綠色奧運(yùn)，全國各地都在加強(qiáng)環(huán)保，植樹造林，某單位計(jì)劃在通往兩個(gè)比賽場館的兩條路 (不相交 )兩旁栽上樹，現(xiàn)運(yùn)回一批樹苗，已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多 6000米。若每隔 4米栽一棵則少 2754棵；若每隔 5米栽一棵 ,則多 396棵，則共有樹苗 ( )。 棵 解析：設(shè)兩條路共有樹苗 x棵，根據(jù)栽樹原理總?cè)L是不變的，所以結(jié)合上面給出的公式可以根據(jù)路程相等列方程： (x＋ 2754 － 4)4 = (x － 396－ 4)5 。 注意：因?yàn)槭?2條馬路兩邊都要栽樹，因此共有 4排，所以要減 4。 解得 x=13000. 二、封閉路線 封閉路線只需掌握公式：棵數(shù) = 段數(shù) = 周長 247。 株距 例 正方形操場四周栽了一圈樹，每兩棵樹相隔 5米。甲、乙從一個(gè)角上同時(shí)出發(fā)，向不同的方向走去（如圖），甲的速度是乙的 2倍，乙在拐了一個(gè)彎之后的第 5棵樹與甲相遇。操場四周栽了多少棵樹？ A 45 B 60 C 90 D 80 解析：方法一：如果按我們之前沒有介紹封閉路線的解法時(shí)的思路是這樣解得，設(shè)每條邊有樹 x棵，則根據(jù)題意 得 2[5(x 1)+55]=35 （ x1） 25,解得 x=16。 故總共有 162 ＋ 142=60 棵樹。選 B。 方法二：由于速度比等于路程比，由提意甲速是乙速，故在乙拐了一個(gè)彎之后的第 5棵樹乙走了 55=25 米，在這條邊上甲走了 50 米，因此正方形的邊長為 25＋ 50=75； 利用封閉路線的公式，由于正方形是閉合曲線，所以有樹 754247。5=60 。 年齡問題是日常生活中一種十分常見的問題，也是公務(wù)員考試數(shù)學(xué)運(yùn)算部分中的常見題型。它的主要特點(diǎn)是：時(shí)間發(fā)生變化，年齡 在增長，但是年齡差始終不變。年齡問題往往是 “ 和差 ” 、 “ 差倍 ” 等問題的綜合應(yīng)用。解題時(shí)，我們一定要抓住年齡差不變這個(gè)解題關(guān)鍵。 解答年齡問題的一般方法： 幾年后的年齡 =大小年齡差 247。 倍數(shù)差－小年齡 幾年前的年齡 =小年齡－大小年齡差 247。 倍數(shù)差 方程法解年齡問題 熟練掌握了年齡關(guān)系之后，便可設(shè)所求為未知數(shù)，利用上述關(guān)系列方程求解。 例 1： 爸爸、哥哥、妹妹現(xiàn)在的年齡和是 64 歲。當(dāng)爸爸的年齡是哥哥的 3倍時(shí)，妹妹是 9歲；當(dāng)哥哥的年齡是妹妹的 2倍時(shí)，爸爸 34歲。現(xiàn)在爸爸的年齡是多少 歲？ A． 34 B． 39 C． 40 D． 42 【答案】 C。解析：解法一：用代入法逐項(xiàng)代入驗(yàn)證。解法二，利用 “ 年齡差 ”是不變的，列方程求解。設(shè)爸爸、哥哥和妹妹的現(xiàn)在年齡分別為： x、 y和 z。那么可得下列三元一次方程： x+y+z=64； x(z9)=3[y(z9)]； y(x34)=2[z(x34)]?？汕蟮?x=40。 例 2： 1998年，甲的年齡是乙的年齡的 4倍。 2022年，甲的年齡是乙的年齡的 3倍。問甲、乙二人 2022年的年齡分別是多少歲 ? A． 34歲， 12歲 B． 32歲， 8歲 C． 36 歲， 12歲 D． 34歲， 10 歲 【答案】 C。解析：抓住年齡問題的關(guān)鍵即年齡差， 1998年甲的年齡是乙的年齡的 4倍，則甲乙的年齡差為 3倍乙的年齡， 2022年，甲的年齡是乙的年齡的 3倍，此時(shí)甲乙的年齡差為 2倍乙的年齡，根據(jù)年齡差不變可得 31998 年乙的年齡 =22022 年乙的年齡 31998 年乙的年齡 =2 （ 1998年乙的年齡 +4） 1998年乙的年齡 =4歲 則 2022年乙的年齡為 10歲。 巧用年齡差求解 年齡問題中不管涉及的是多少年前還是多少 年后的年齡，唯一不變的是年齡差。所以用年齡差來做運(yùn)算過程中的基準(zhǔn)量便可以大大簡化計(jì)算過程。如果能深刻理解年齡差的作用，在面對年齡問題時(shí)，更可以瞬間找到切入點(diǎn)。如下題： 10 年前吳昊的年齡是他兒子年齡的 7倍， 15年后，吳昊的年齡是他兒子的 2倍。則現(xiàn)在吳昊的年齡是多少歲？（ ） 解析：由 “15 年后，吳昊的年齡是他兒子的 2倍 ” 可知， 15年后，吳昊兒子的年齡即為 2人的年齡差。那么 10 年前吳昊兒子的年齡為 1247。 （ 7－ 1） = 個(gè)年齡差，故 10+15=25年，即為 1－ = 個(gè)年齡差，年齡差為 25247。 =30 年。所以吳昊今年的年齡為 302 － 15=45歲。在這道題中年齡差成了一個(gè)衡量年齡的基準(zhǔn)量，用它來代表各個(gè)人物各時(shí)期的年齡，不但簡化了計(jì)算過程、不易出錯(cuò)，更使得題目容易理解。 10. 奇數(shù)和偶數(shù) 奇數(shù)：不能被 2整除的整數(shù)； 偶數(shù)：能被 2整除的整數(shù)，這里要注意零也是整數(shù)。 性質(zhì) 1：奇數(shù) +奇數(shù) =偶數(shù) 性質(zhì) 2：偶數(shù) +偶數(shù) =偶數(shù) 性質(zhì) 3：奇數(shù) +偶數(shù) =奇數(shù) 性質(zhì) 4：奇數(shù) 偶數(shù) =偶數(shù) 性質(zhì) 5：奇數(shù) 奇數(shù) =奇數(shù) 例題 10個(gè)連續(xù) 自然數(shù)，其中的奇數(shù)之和為 85，在這 10 個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，是 3的倍數(shù)的數(shù)字之和為多少？ 解析：奇數(shù)之和為 85，總共有 5項(xiàng)，那么中間哪個(gè)數(shù)就為 17，可以知道這 5個(gè)奇數(shù)為 13， 15， 17， 19， 21；由次可知這 10 個(gè)數(shù)可能為 1221和 1322，由于要3的倍數(shù)的數(shù)字之和最大，那么只可以是 12+15+18+21=66。 例題 書店有單價(jià)為 10分， 15 分， 25分， 40 分的四種賀年卡，小華花了幾