【正文】 371=（ 71 ? ） ba 73? ， OEOFEF ?? = baOAOB ???? ???? ∵ EMEF與 共線， ∴ ????71=?73 ∴ ?71 )(73 ??? ?? ???? ?? 7371 ∴ 17371 ?? ??。 正 解 ：因?yàn)?a 的 模等于 5，所以與 a 平行的單位向量是 ? 51 a ， 即 (35 ，－ 45 )或 (－ 35 ， 45 ) ★ 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析 ★ 考點(diǎn)一： 平面向量基本定 理 題型 1. 利用一組基底表示平面內(nèi)的任一向量 [例 1] 在△ OAB中， OBODOAOC 21,41 ?? ， AD與 BC交于點(diǎn) M，設(shè) OA =a ，OB =b ，用 a ,b 表示 OM . [解題思路 ]： 若 21,ee?? 是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則根據(jù)平面向量的基本定理，平面內(nèi)的任何向量都可用 21,ee?? 線性表示 .本例中向量 a ,b 可作基底 ,故可設(shè) OM =ma +nb ,為求實(shí)數(shù) m,n,需 利用向量 AM 與 AD 共線 ,向量 CM 與 CB 共線 ,建立關(guān)于 m,n的兩個(gè)方程 . 解析： 設(shè) OM =ma +nb ， 則 ( 1)AM m a nb? ? ?, 12AD a b?? ? ∵點(diǎn) A、 M、 D共線，∴ AM 與 AD 共線， ∴ nm ??? ，∴ m+2n=1. ① 而 CM OM OC?? 1()4m a nb? ? ? ， 14CB a b?? ? ∵ C、 M、 B共線，∴ CM 與 CB 共線， 用心 愛(ài)心 專心 A B C Q R P B A C P N M ∴14141nm ??? ，∴ 4m+n=1. ② 聯(lián)立①②解得 :m=71 ， n=73 ，∴ 1377OM a b?? [例 2] 已知 P 是 ABC? 所在平面內(nèi)一點(diǎn) ,AP 的中點(diǎn)為 Q ,BQ 的中點(diǎn)為R ,CR 的中點(diǎn)為 S .證明 :只有唯一的一點(diǎn) P 使得 S 與 P 重合 . [解題思路 ]： 要證滿足條件的點(diǎn)是唯一的 ,只需證明向量 AP 可用一組基底唯一表示 . 解析： [證明 ]設(shè) ,AB a AC b??， 則 1 1 1( ) [ ( ) ]2 2 2A S A R A C A B A Q A C? ? ? ? ? 1 1 14 2 8AB AC AP? ? ?, 由題設(shè)知 :AS AP? 7 1 18 4 2AP AB AC? ? ? 2477AP a b? ? ? 由于 a ,b 是確定的 向量，所以 AP 是唯一的一個(gè)向量，即 ABC? 所在平面內(nèi) 只有唯一的一點(diǎn) P 使得 S 與 P 重合 . 【名師指引】解決此類類問(wèn)題的關(guān)鍵在于以一組不共線的向量主基底，通過(guò)向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把其它相關(guān)的向量用這一組基底表示出來(lái)，再利用向量相等建立方程，從而解出相應(yīng)的值。 解析： ∵ A（ — 2， 4）、 B（ 3， — 1）、 C（ — 3， — 4）∴ )3,6(),8,1( ?? CBCA ∴ CACM 3? =3（ 1， 8） =（ 3， 24）， CBCN 2? =2（ 6， 3） =（ 12， 6） 設(shè) ),( yxM ，則 )4,3( ??? yxCM 因此 ??? ?? ?? 244 33yx 得??? ??200yx，∴ )20,0(M 同理可得 )2,9(N ，∴ MN =（ 9— 0， 2— 20） =（ 9， — 18） 【名師指引】靈活運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式。 2 x?(x)=0 ∴ x=177。 (2)四邊形 OABP能否構(gòu)成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的 t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。 ★ 搶 分 頻 道 ★ 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練 1. （ 廣東省惠州市 2022屆高三第二次調(diào)研考試） 用心 愛(ài)心 專心 PCA BQ設(shè)平面向量 ? ? ? ?3, 5 , 2,1ab? ? ?，則 2ab??（ ） A． ? ?6,3 B． ? ?7,3 C． ? ?2,1 D． ? ?7,2 答案： B 解析： 2ab??? ? ? ? ? ?3 , 5 2 2 ,1 7, 3? ? ? ? 2. （ 廣東省深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 2022屆高三統(tǒng)測(cè)（數(shù)學(xué) 理）） 在 ABC△ 中， AB?c ， AC?b ．若點(diǎn) D 滿足 2BD DC? ，則 AD? ( ) A． 2133?bc B． 5233?cb C． 2133?bc D． 1233?bc 答案： A 解析： 由 ? ?2A D A B A C A D? ? ?， 3 2 2AD AB AC c b? ? ? ?， 1233AD c b?? 3．已知 a=（ 1， 2）， b=（－ 3， 2），當(dāng) ka+b與 a－ 3b 平行， k為何值（ ） A 14 B － 14 C －31 D 31 答案： C解析： 由已知 a=（ 1， 2）， b=（－ 3， 2）， 得 a－ 3b=（ 10，－ 4）， ka＋ b=（ k－ 3， 2k＋ 2）． 因（ ka＋ b）∥（ a－ 3b）， 故 10（ 2k＋ 2）＋ 4（ k－ 3） =0． 得 k=－31． 4．（ 廣東省黃岐高級(jí)中學(xué) 2022屆高三月考） 如圖 ,線段 AB 與 CD 互相平分 ,則 BD 可以表示為 ( ) A . AB CD? B. 1122AB CD?? C. 1 ()2 AB CD? D. ()AB CD?? 答案： B 線段 AB 與 CD 互相平分 ，所以 BD = 1 ()2 CD AB? 5． 如圖，設(shè) P、 Q為 △ABC 內(nèi)的兩點(diǎn)，且 2155AP AB AC??， AQ ＝ 23 AB ＋ 14 AC ，則 △ ABP的面積與 △ ABQ的面積之比為 ( ) A． 15 B． 45 C． 14 D． 13 DCBA 用心 愛(ài)心 專心 PMNCA BQ答案： B [解析 ]如圖 ,設(shè) 25AM AB? , 15AN AC? 則 AP AM AN??由平行四邊形法則知NP∥ AB，所以 ABP ANABC AC? ??=15 ，同理可得 14ABQABC? ?? 。 2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義： 已知兩個(gè)非零向量 a? 與 b? ，它們的夾角是 θ ，則數(shù)量|a? ||b? |cos?__叫 a? 與 b? 的數(shù)量積，記作 a? ?b? ，即有 a? ?b? = |a? ||b? |cos? 特別提醒： （ 1） （０≤ θ ≤ π ） .并 規(guī)定 0? 與任何向量的數(shù)量積為 0 奎屯王新敞 新疆 （ 2） 兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè) a? 、 b? 為兩個(gè)非零向量， e? 是與 b? 同向的單位向量 奎屯王新敞 新疆 1) e? ?a? = a? ?e? =|a? |cos?； 2) a? ?b? ? a? ?b? = 0 用心 愛(ài)心 專心 3) 當(dāng) a? 與 b? 同向時(shí)， a? ?b? = |a? ||b? |；當(dāng) a? 與 b? 反向時(shí)， a? ?b? = ?|a? ||b? | 奎屯王新敞 新疆 特別的 a? ?a? = |a? |2或 aaa ??? ??|| 4) cos? =|||| ba ba ????? ； 5) |a? ?b? | ≤ |a? ||b? | 3．“投影”的概念：如圖 定義： _____|b|cos?_______叫做向量 b 在 a方向上的投影 奎屯王新敞 新疆 特別提醒： 投影也是一個(gè) 數(shù)量，不是向量；當(dāng) ?為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng) ?為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng) ?為直角時(shí)投影為 0；當(dāng) ? = 0?時(shí)投影為 |b|；當(dāng) ? = 180?時(shí)投影為 ?|b| 奎屯王新敞 新疆 4． 平面向量 數(shù)量積的運(yùn)算律 交換律： a? ? b? = b? ? a? 數(shù)乘結(jié)合律： (? a? )?b? =? (a? ?b? ) = a? ?(? b? ) 分配律： (a? + b? )?c? = a? ?c? + b? ?c? 5．平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 已知兩個(gè)非零向量 ),( 11 yxa?? ， ),( 22 yxb?? ，設(shè) i? 是 x 軸上的單位向量， j? 是 y 軸上的單位向量，那么 a? 11xi yj? ， b? 22xi y j? 所以 ba??? ? 1 2 1 2xx yy? 如果表示向量 a? 的有向線段 的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ),( 11 yx 、 ),( 22 yx ， 那么 ： 221221 )()(|| yyxxa ????? ： 設(shè) ),( 11 yxa?? ， ),( 22 yxb?? ，則 ba ??? ? 02121 ?? yyxx （ ????0 ） cos? = |||| ba ba?????22222121 2121 yxyxyyxx???? ★ 重 難 點(diǎn) 突 破 ★ 用心 愛(ài)心 專心 ： 掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律；能利用數(shù)量積的 5 個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問(wèn)題； ： 掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題 奎屯王新敞 新疆 ： . (1) 向量數(shù)量積與向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的區(qū)別 問(wèn)題 1: 兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè) 實(shí)數(shù) ，向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量。 0 =0 178。b=0 ，則有 a=0或 b=0，但 a 178。 b =0，而不必 a =0 或 b =0 ． ⑵ 若 a、 b、 c∈ R，且 a≠ 0， 則由 ab=ac可得 b=c， 但由 a 178。 c 及a ≠ 0 卻不能推出 b =c ．因若 a 、 b 夾角為θ 1， a 、 c 夾角為θ 2，則由a 178。 c 得 |a |178。| c |cosθ 2 及 |a |≠ 0，只能得到|b |cosθ 1=|c |cosθ 2， 即 b 、 c 在 a 方向上投影相等，而不能得出 b =c (見(jiàn)圖 )． ⑶ 若 a、 b、 c∈ R，則 a(bc)=(ab)c(結(jié)合律 )成立，但對(duì)于向量 a 、 b 、 c ，則 (a 178。 c與 a 178。 c )都是無(wú)意義的 ， 這是因?yàn)?a 178。 c 是數(shù) 量，已不再是向量了，而數(shù)量與向量是沒(méi)有點(diǎn)乘定義的．同時(shí)， (a 178。 c )， 這是因?yàn)閿?shù)量 a 178。 c 與向量 a 相乘則是與 a 共線的向量，所以一般二者是不等的．這就是說(shuō)，向量的數(shù)量積是不滿足結(jié)合律的． ⑷ 若 a、 b∈ R，則 |a178。|b| ， 但對(duì)于向量 a 、 b ，卻有 |a 178。 |b |，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) a ∥ b 時(shí)成立．這是因?yàn)?|a 178。 |b |178。 [解題思路 ]： 考慮公式 cos? =| | | |abab??。 題型 2。 解析： [證明 ]由 ? ? ? ?? ? ? 得 : 22? ? ? ?? ? ? 22( ) ( )? ? ? ?? ? ? ? 展開(kāi)得 : 0????,故 ??? [例 4] 在△ ABC中， AB =(2, 3)， AC =(1, k)，且△ ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角， 求 k值 奎屯王新敞 新疆 [解題思路 ]： 注意分情況計(jì)論 解析： 當(dāng) A = 90?時(shí)， AB ?AC = 0，∴ 2179。 k = 0 ∴ k = 23? 當(dāng) B = 90?時(shí)， AB ?BC = 0， BC =AC ?AB = (1?2, k?3) = (?1, k?3) ∴ 2179。 (k?3) = 0 ∴ k =311 當(dāng) C= 90?時(shí)， AC ?BC = 0，∴ ?1 + k(k?3) = 0 ∴ k = 2133? 【名師指引】 0???? ???? baba 是一個(gè)常用的結(jié)論。 ，直線c os si n 0xy????與圓 22 1( c o s ) ( s in ) 2xy??? ? ? ?的位置關(guān)系是 （ ） A．相切 B．相交 C．相離 D．隨 ,??的值而 定 答案： C 解析： a 與 b 的夾角為 60176。 2PF?的最大值和最小值 。 BD ＝（ AB ＋ AD ）178。 BD ＝ c2－ a2－ b2＝ O ∴ AC ⊥ BD 即 AC⊥ BD 【名師指引】 如能熟練應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算，則將給解題帶來(lái)一定的方便 奎屯王新敞 新疆通過(guò)向量的坐標(biāo)表示，可以把幾何問(wèn)題的證明轉(zhuǎn)化成代數(shù)式的運(yùn)算，體現(xiàn)了向量的數(shù)與形的橋梁