【正文】 ????? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? 解得：21 , , ,22A B C???? ? ? (2) 22 2 2( , ) 6( , ) ( 4 ) ( 9 )F x yf x y x y x y????? ? ? ? (3) X 與 Y 的邊緣分布函數(shù)為： 211( ) ( , ) a r c ta n a r c ta n2 2 2 2 2 2X xxF x F x ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2( ) ( , ) a r c t a n a r c t a n2 2 2 3 2 2Y yyF y F y ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? X 與 Y 的邊緣概率密度為： 39。23( ) ( ) ( 9 )YYf y F y y??? ? (4) 由 (2),(3)可知： ( , ) ( ) ( )XYf x y f x f y? , 所以 X， Y 相互獨立 . 30. 設二維隨機變量 (X, Y)的聯(lián)合概率密度為 ( x + y )e , 0 ,( , )0, xf x y ? ? ? ? ?? ?? 其 他 （ 1）求分布函數(shù) F(x, y)； （ 2）求 (X， Y)落在由 x＝ 0， y＝ 0， x＋ y＝ 1 所圍成的三角形區(qū)域 G 內(nèi)的概率 . 解 (1) 當 x0, y0 時， ()00( , ) ( 1 ) ( 1 )yx u v x yF x y e d u d v e e? ? ? ?? ? ? ??? 否則， F(x, y) = 0. (2) 由題意，所求的概率為 11 ( ) 100( ( , ) ) ( , )1 2 0. 26 42Gx xyP x y G f x y dx dydx e dy e? ? ? ???? ? ? ????? 31. 設隨機變量（ X， Y）的聯(lián)合概率密度為 ( 3 x + 4 y )A e , 0 , 0 ,( , )0, xyf x y ? ??? ?? 其 他 求：（ 1）常數(shù) A；（ 2） X， Y 的邊緣概率密度；（ 3） ( 0 1, 0 2)P X Y? ? ? ?. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習題參考答案（僅供參考） 第二章 第 23 頁 (共 96 頁 ) 解 (1) 由聯(lián)合概率密度的性質，可得 ( 3 4 )00( , ) 1 / 1 2xyf x y d x d y A e d x d y A? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 解得 A=12. (2) X, Y 的邊緣概率密度分別為： ( 3 4 ) 30 12 3 , 0( ) ( , ) 0,x y xXe dy e xf x f x y dyothe r?? ? ? ?????? ????? ????? ( 3 4 ) 40 12 4 , 0( ) ( , ) 0,x y yYe dx e yf y f x y dxothe r?? ? ? ?????? ????? ????? (3) ( 0 1, 0 2)P x y? ? ? ? 21 ( 3 4 )003812(1 )(1 )xye d xd yee?????? ? ??? 32. 設隨機變量（ X， Y）的聯(lián)合概率密度為 2 , 0 1 , 0 2 ,( , ) 30,xyx x yf x y? ? ? ? ? ??? ??? 其 他 求 P(X＋ Y≥ 1). 解 由題意 ， 所求的概率就是 (X,Y)落入由直線 x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1 圍的區(qū)域 G 中 , 則 12 2012310(( , ) ) ( , )34 5 6 53 2 6 7 2GxP x y G f x y d x d yxyd x x d yx x x dx?????? ? ? ?????? 33. 設二維隨機變量 (X, Y)在圖 所示的區(qū)域 G 上服從均勻分布，試求 (X, Y)的聯(lián)合概率密度及邊緣概 率密度 . 解 由于 (X, Y)服從均勻分布，則 G 的面積 A 為： 211 2001( , ) ( ) 6xxGA f x y d x d y d x d y x x d x? ? ? ? ??? ? ? ?, (X, Y)的聯(lián)合概率密度為： 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習題參考答案（僅供參考） 第二章 第 24 頁 (共 96 頁 ) 6 , 0 1( , )0, xf x y o th e r???? ??. X,Y 的邊緣概率密度為： 2 26 6( ) , 0 1( ) ( , )0,xxX dy x x xf x f x y dy othe r????? ? ? ? ???? ????? 6 6( ) , 0 1( ) ( , )0,yyY dy y y yf y f x y dxothe r????? ? ? ? ???? ????? 34. 設 X 和 Y 是兩個相互獨立的隨機變量， X 在 (0, )上服從均勻分布， Y 的概率密度是 55 , 0()0 , 0yy eyfy y?? ???? ?? ??? 求：（ 1） X 和 Y 和聯(lián)合概率密度； （ 2） P(Y≤ X). 解 由于 X 在 (0, )上服從均勻分布，所以 ( ) 1 / 5Xfx?? (1) 由于 X， Y 相互獨立，因此 X, Y 的聯(lián)合密度函數(shù)為： 52 5 , 0 , 0 0 . 2( , ) ( ) ( )0,yXY e y xf x y f x f y o th e r?? ? ? ??? ?? (2) 由題意，所求的概率是由直線 x=0, x=, y=0, y=x 所圍的區(qū)域， 如右圖所示， 因此 0 . 2 5000 . 2 5 1 10( ) ( , ) 255 1 1 1x yGxP Y X f x y dx dy dx e dye dx e e?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? 35. 設（ X， Y）的聯(lián)合 概率密度為 1 , 0 1 , 0 2( , ) 20,xyf x y ? ??? ? ? ? ? ??? ??? 其 他 求 X 與 Y 中至少有一個小于 12 的概率 . 解 所求的概率為 y=x 0 x y 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習題參考答案（僅供參考） 第二章 第 25 頁 (共 96 頁 ) 12 11( ) ( )22111,221 ( , )15128P X YP X Yf x y dx dydx dy?? ????????????? ? ? ???????? ? ????? 36. 設隨機變量 X 與 Y 相互獨立，且 X － 1 1 3 Y － 3 1 P 12 15 310 P 14 34 求二維隨機變量（ X， Y）的聯(lián)合分布律 . 解 由獨立性，計算如下表 X Y 1 1 3 jp 3 1/8 1/20 3/40 1/4 1 3/8 3/20 9/40 3/4 ip 1/2 1/5 6/20 37. 設二維隨機變量（ X， Y）的聯(lián)合分布律為 X 1 2 3 Y 1 16 19 118 2 a b c （ 1）求常數(shù) a， b， c 應滿足的條件； （ 2）設隨機變量 X 與 Y 相互獨立，求常數(shù) a， b， c. 解 由聯(lián)合分布律的性質，有： 1 1 1 16 9 1 8 abc? ? ? ? ? ?, 即 a + b + c = 1233?? 又， X, Y 相互獨立，可得 1 1 1: : : :6 9 18abc? 從而可以得到： 1 2 1,399a b c? ? ? 38. 設二維隨機變量（ X， Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習題參考答案（僅供參考） 第二章 第 26 頁 (共 96 頁 ) 22232, 0 , 1 ,1( , ) , 0 , 0 1 ,10,xxyxxyF x y x yx??? ?? ? ?????? ?? ?? ? ? ????? ?? ? ?? ?? ?? ?? ???其 他 ， 求邊緣分布函數(shù) ()xFx與 ()yFy，并判斷隨機變量 X 與 Y 是否相互獨 立 . 解 由題意 , 邊緣分布函數(shù) 2222l im , 0( ) ( , ) 110 , 0yXxx xF x F x xxx? ? ?? ???? ? ? ? ?????? 下面計算 FY(y) 2332220 , 0( ) ( , ) l i m , 0 11l i m 1 , 11Y xxyxyF y F y y yxx yx? ? ?? ? ??? ???? ?? ? ? ? ?? ???????? 可以看出， F(x,y)= Fx(x) FY(y), 因此， X， Y 相互獨立 . 39. 設二維隨機變量（ X， Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 132 , 1 , 1( , )0,ye x yf x y x ?? ???? ? ????? ?????????? 其 他 ， 求邊緣概率密度 ()Xfx與 ()Yfy，并判斷 隨機變量 X 與 Y 是否相互獨立 . 解 先計算 ()Xfx, 當 x1 時 , ( ) 0Xfx? 當 x≥ 1 時 , 113 3 31 2 2 2() 1yyXf x e d y ex x x?? ?? ???? ? ?? 再計算 ()Yfy, 當 y1 時 , ( ) 0Yfy? 當 y≥ 1 時 , 1 1 1321 21() 1y y yYf y e d x e exx?? ? ? ????? ? ?? 可見 , ( , ) ( ) ( )XYf x y f x f y? , 所以隨機變量 X, Y 相互獨立 40. 設二維隨機變量（ X， Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習題參考答案（僅供參考） 第二章 第 27 頁 (共 96 頁 ) ,( , ) 0,x y x yf x y ? ?????? ? ? ? ???? ? ?????????? 其 他 ， 求邊緣概率密度 ()Xfx與 ()Yfy，并判斷隨機變量 X 與 Y 是否相互獨立 . 解 先計算 ()Xfx, 當 x0 或者 x1 時 , ( ) 0Xfx? 當 1≥ x≥ 0 時 , 1 2120 1 1() 0 2Xf x x y d y x y y x? ? ? ? ? ?? 再計算 ()Yfy, 當 y0 或者 y1 時 , ( ) 0Yfy? 當 1≥ y≥ 0 時 , 1 20111() 022Yf y x y d x x y x y? ? ? ? ? ?? 由于 11( , ) ( ) ( )22XYf x y x y f x f y x y? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, 所以隨機變量 X,Y 不獨立 41. 設二維隨機變量（ X， Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 22 , 0 0( , )0,xye x yf x y ??? ????? ? ? ?? ??????????? 其 他 求隨機變量 Z＝ X