【正文】 )()1()(222??????????? ?KneKeYYKnSKSSF R66 分子分母均除以 ， 有 ? ? 2)( YY? ?1)()(12222??????????????????KnYYeKYYeF)1()1( 22????KnRKR 從上式不難看出 ， 全部斜率為 0的檢驗實際是檢驗R2的值是否顯著異于 0， 如果接受原假設(shè) ， 則表明因變量的行為完全歸因于隨機變化 。 67 二 ． 檢驗其他形式的系數(shù)約束條件 上面所介紹的檢驗若干個系數(shù)顯著性的方法 ， 也可以應(yīng)用于檢驗施加于系數(shù)的其他形式的約束條件， 如 檢驗的方法仍是分別進行有約束回歸和無約束回歸 ， 求出各自的殘差平方和 SR 和 S， 然后用 F 統(tǒng)計量進行檢驗 。 1,11,324342???????????????????????????????68 例： CobbDouglas生產(chǎn)函數(shù) Y=AKα Lβ ν 試根據(jù)美國制造業(yè) 18991922年數(shù)據(jù)檢驗規(guī)模效益不變的約束： α +β =1 解： （ 1） 全回歸 22?l og 0. 18 0. 23 l og 0. 81 l og 0. 96: ( 0. 43 ) ( 0. 06 ) ( 0. 15 ) 25 20. 07 10Y K L RSe Fe? ? ? ? ????69 （ 2） 有約束回歸： 將 約束條件代入， 要回歸的模型變?yōu)椋? Y=AKα L1α ν 為避免回歸系數(shù)的不一致問題， 兩邊除以 L，模型變換為： Y/L=A(K/L)α ν 回歸 ， 得： 22l o g ( / ) 0 .0 2 0 .2 5 l o g ( / ): ( 0 .0 2 ) ( 0 .0 4 )0 .6 3 3 8 .0 0 .0 7 1 6Y L K LSeR F e??? ? ??70 由回歸結(jié)果得到的約束回歸和全回歸的殘差平方和分別為 SR= S= （ 3） 檢驗 原假設(shè) H0:α +β ＝ 1 備擇假設(shè) H1:α +β ≠ 1 本例中 ， g=1, K=2, n=24 ? ? ? ? )1(???????KnSgSSF R71 用自由度 （ 1， 21） 查 F表 ， 5%顯著性水平下 ， Fc= ∵ F= Fc= 故接受原假設(shè) H0:α +β ＝ 1 （ 4） 結(jié)論 我們的數(shù)據(jù)支持規(guī)模收益不變的假設(shè) 。與雙變量模型的作法類似 ， 預(yù)測指的是對諸自變量的某一組具體值 來預(yù)測與之相對應(yīng)的因變量值 。 )...1( 02021 kXXXC ??0Y73 點預(yù)測值由與給定的諸 X值對應(yīng)的回歸值給出 ， 即 而預(yù)測期的實際 Y值由下式給出： 其中 u0是從預(yù)測期的擾動項分布中所取的值 。 75 預(yù)測誤差的方差為： ))(1()()?()()(1221200CXXCCXXCCV arCuV areV ar???????????????????)()(000eSeeEe )1,0(~)(1 10 NCXXCe?????從 e0 的定義可看出 ， e0 為正態(tài)變量的線性函數(shù)， 因此 ， 它本身也服從正態(tài)分布 。 解： 由例 ： 14)10()10( ????Y101014/102/382/3110/45810/4510/267)10101()( 1 ???????????????????????????? ?CXXC ?? ?XY 108???YY78 因此 的 95%置信區(qū)間為： 或 . 1251?1?22 ?????????????? ?knXYYYkne t ??0Y 0 ??79 第七節(jié) 虛擬變量（ Dummy variables） 一 ． 虛擬變量的概念 在回歸分析中 ， 常常碰到這樣一種情況 ， 即因變量的波動不僅依賴于那種能夠很容易按某種尺度定量化的變量 （ 如收入 、 產(chǎn)出 、 價格 、 身高 、 體重等 ） ， 而且依賴于某些定性的變量 （ 如性別 、 地區(qū) 、 季節(jié)等 ） 。 如政府的更迭 （ 工黨 保守黨 ） 、 經(jīng)濟體制的改革 、 固定匯率變?yōu)楦訁R率 、 從戰(zhàn)時經(jīng)濟轉(zhuǎn)為和平時期經(jīng)濟等 。 這種變量在計量經(jīng)濟學(xué)中稱為 “ 虛擬變量” 。 下面給出幾個可以引入虛擬變量的例子 。 81 例 2：你在研究某省家庭收入和支出的關(guān)系 ， 采集的樣本中既包括農(nóng)村家庭 ， 又包括城鎮(zhèn)家庭 ， 你打算研究二者的差別 。 你想檢驗該政策是 否對通貨膨脹產(chǎn)生影響 。 另一種方法是用全部觀測值作單一回歸， 將定性因素的影響用虛擬變量引入模型 。 對于 5年戰(zhàn)爭和 5年和平時期的數(shù)據(jù) ， 我們可分別估計上述兩個模型 ， 一般將給出 的不同值 。 估計結(jié)果如下圖所示： 應(yīng)用 t檢驗 ， β 2是否顯著 可以表明截距項在兩個時 期是否有變化 。 uDXXYuXDY????????)()(2121??????即：平時戰(zhàn)時10uXYuXY???????)( 211?????Y 戰(zhàn)時 平時α X85 3． 斜率和截距都變動 在這種情況下 ， 模型可設(shè)為： 其中 ， D={ 此式等價于下列兩個單獨的回歸式： uDXXDYuXDDY??????????)()()(43214321????????即：平時戰(zhàn)時10uXYuXY????????）（平時：戰(zhàn)時：432131)( ?????? 引進了虛擬變量的回歸模型對于檢驗兩個時期中是否 發(fā)生結(jié)構(gòu)性變化很方便 。 87 例：設(shè) Y=購買汽車的實際支出額 X=實際總消費支出 用美國 1973(1) 1980(2)的季度數(shù)據(jù) （ 按 1975年價格計算 ） ， 得回歸結(jié)果如下： )()(:)(0 2 8 1 3 2????tRXY這一結(jié)果很不理想 ， 低 R2值 ， 低 t值 ， X的符號也不對 。 89 估計結(jié)果如下： 結(jié)果仍不理想 ， 但好多了 。 所得到的實際總支出的參數(shù)估計值 （ ） 是一個不受季節(jié)變動影響的估計值 。 能不能用四個虛擬變量來區(qū)分四個季度呢？ 答案是絕對不行 。 不難看出 ， 在這種情況下 ， 四個虛擬變量在 X矩陣中的觀測值列相加 ， 就得到一個所有元素都為 1的列向量 ， 與 X矩陣中第一列 （ 截距項列 ） 完全相同 ，表明 X矩陣各列線性相關(guān) ， 矩陣的秩小于 k＋ 1， 不滿足假設(shè)條件 （ 4） ， OLS估計無法進行 。 如果引入 m個虛擬變量 ， 則會畫蛇添足 ， 陷入虛擬變量陷阱 。 極大似然法的一般概念是，設(shè) 是隨機變量 X的密度函數(shù)，若有一隨機樣本 X1， X2， … X N，則 的極大似然估計值是具有產(chǎn)生該觀測樣本的最高概率的那個值，或者換句話說， 的極大似然估計值是使密度函數(shù)達到最大的值。 ( , )fx???92 一、似然的概念 一個樣本發(fā)生的概率稱為該樣本的似然。根據(jù)二項分布，我們有 其中 X = 出現(xiàn)正面的次數(shù) p = 一次拋擲中出現(xiàn)正面的概率，即 P(正面 ) 根據(jù)似然的定義， P(X=4)是當(dāng) P(正面 )=p時， X=4的似然。 我們可以通過下面兩種方法求得 。在本例中，由于 p= P(X=4)=，即這個值最有可能給出 10次拋擲中出現(xiàn) 4次正面的結(jié)果，因此 =。計算結(jié)果， =。我們有 該樣本的似然 L= P(樣本值為 X1,X2,…X n) 22()21()2ixiP x e???????22 2122 2 212( ) ( ) ()2 2 222( ) ( ) ... ( )1 1 1( ) ( ) .... ..( )2 2 2()1( ) e x p22nnXX XinP X P X P XeeXe?? ?? ? ?? ? ? ? ? ??????? ?? ? ?????????? ???????95 令 我們可求得： 我們有 而 2ln0ln0LLu???????22()iiXXnXXn????????2222()( 1 )()EnEnn????????? ? ?2? ? ? ?2是 的 無 偏 估 計 量 ， 而 是 的 有 偏 估 計 量 。由假設(shè)我們有 因而 2( , )tNX? ? ??tY ~ 22()21()2ttYXtP Y e?????????97 故對于 Y1,Y2,… Yn， 有 12( ) ( ) . . . ( )nL P Y P Y P Y?22()21()2ttYXn e?????? ? ???當(dāng) L被看作是參數(shù) 的函數(shù)時，稱為似然函數(shù)，表示為 ，極大似然法要求我們選擇使似然函數(shù)達到最大的參數(shù)估計值。 但最后一式表明， 的極大似然估計量與最小二乘估計量不同。 而 這表明 是一個有偏估計量。 222??()? 22t t te Y Xnn ??? ????????2 2222 ( 2 ) 2( ) ( )te nEEn n n???? ?? ? ? ??22 ()ttYXn??? ??? ?2222n???? ???2?100 四、極大似然估計量的性質(zhì) 1. 從上面的分析可看出，在小樣本情況下， ML估