【正文】 可表示為一個(gè)矩陣和因變量觀測(cè)值向量 的乘積： 其中 是一個(gè) (K+1)*n 非隨機(jī)元素矩陣 。 ????YXXX ??? ?? 1)(βYYk???XXXk ??? ? 1)(??24 現(xiàn)設(shè) 為 的任意一個(gè)線性無偏估計(jì)量 ， 即 其中 是一個(gè) (K+1)*n非隨機(jī)元素矩陣 。 *? ? Yc?*?cucXcuXcYc ????? ??? )(*????XcuEcXcucXcEE?????)()()(*?? ?*)(E*?IXc ? I25 的方差為： 我們可將 寫成 從而將 的任意線性無偏估計(jì)量 與 OLS估計(jì)量 聯(lián)系起來 。 這就證明了 OLS估計(jì)量 是 的所有線性無偏估計(jì)量中方差最小的 。 ? ?)?()?()()(*)(2212122????????V a rDDV a rDDXXDDXXccV a r????????????????DD ??? ?28 第三節(jié) 擬合優(yōu)度 一 ． 決定系數(shù) R2 對(duì)于雙變量線性模型 Y=α +β X + u 我們有 其中 ， =殘差平方和 ? ?????? 222 1YYeR? 2e29 對(duì)于多元線性模型 我們可用同樣的方法定義決定系數(shù)： 為方便計(jì)算 ， 我們也可以用矩陣形式表示 R2 uXXY KK ????? ??? ...110? ?TS SR S STS SE S SRYYeR?????????112222或總變差解釋變差30 我們有：殘差 其中 ， 殘差平方和： YYe ??? ?? ? βXY)()(2?????????YYYYeee t)β()β( ?? ???? XYXY)β)(β( ?? ?????? XYXY???? ?????????? ββββ XXXYYXYYYXXXXXXYYXYY ???????????? ???? 1)(βββ????? βXYYYYXXYYXYY ?????????? ??? βββ31 而 將上述結(jié)果代入 R2的公式 ， 得到： ? ? 2222 YnYYYnYYY ?????? ??這就是決定系數(shù) R2 的矩陣形式。 由此可以推論 ， 決定系數(shù)是一個(gè)與解釋變量的個(gè)數(shù)有關(guān)的量： 解釋變量個(gè)數(shù)增加 ? 減小 ? R2 增大 也就是說 ， 人們總是可以通過增加模型中解釋變量的方法來增大 R2 的值 。 為此 ， 我們定義修正決定系數(shù) （ Adjusted ）如下： 2R? 2e2R 2R33 ? ? )1()1(1222????????nYYKneR? ?????????22)1()1(1YYKnen1)1)(1(12??????KnRn34 是經(jīng)過自由度調(diào)整的決定系數(shù) ， 稱為修正決定系數(shù) 。 即 （ 3） 當(dāng) K增大時(shí) ， 二者的差異也 隨之增大 。 2R22 RR ?22 RR ?2R35 三 ． 例子 下面我們給出兩個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值例子 ， 以幫助理解這兩節(jié)的內(nèi)容 . 例 1 Yt = ?1 + ?2X2 t + ?3X3 t + u t 設(shè)觀測(cè)數(shù)據(jù)為： Y： 3 1 8 3 5 X2： 3 1 5 2 4 X3： 5 4 6 4 6 試求各參數(shù)的 OLS估計(jì)值 ， 以及 。 解： 下面改變 n的值 ， 看一看 的值如何變化 。 這與 R2不同 （ ） 。但在實(shí)際問題中 ， 變量間的關(guān)系并非總是線性關(guān)系 ， 經(jīng)濟(jì)變量間的非線性關(guān)系比比皆是 。 在這樣一些非線性關(guān)系中 ， 有些可以通過代數(shù)變換變?yōu)榫€性關(guān)系處理 ， 另一些則不能 。 ?? LAKQ ?42 一 . 線性模型的含義 線性模型的基本形式是 : 其特點(diǎn)是可以寫成每一個(gè)解釋變量和一個(gè)系數(shù)相乘的形式 。 （ 2） 參數(shù)的線性 因變量 Y是各參數(shù)的線性函數(shù) 。 例如 ， 對(duì)于 此方程的變量和參數(shù)都是線性的 。 可是 ， 如果模型的右端由一系列的 Xβ 或 eβ X項(xiàng)相乘 ， 并且擾動(dòng)項(xiàng)也是乘積形式的 ， 則該模型可通過兩邊取對(duì)數(shù)線性化 。 logX的系數(shù)是 β 的估計(jì)值 ， 經(jīng)濟(jì)含義是需求的收入彈性 ， logP的系數(shù)將是 γ 的估計(jì)值 ， 即需求的價(jià)格彈性 。 其定義為 本例中 ， 需求的收入彈性是收入變化 1%， 價(jià)格不變時(shí)所引起的商品需求量變動(dòng)的百分比 。 YXXY ?????46 三 ． 例子 例 1 需求函數(shù) 本章 167。 現(xiàn)用這三個(gè)變量的對(duì)數(shù)重新估計(jì) （ 采用同樣的數(shù)據(jù) ） ， 得到如下結(jié)果 （ 括號(hào)內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差 ） ： 回歸結(jié)果表明 ， 需求的收入彈性是 ,需求的價(jià)格彈性是 ， 這兩個(gè)系數(shù)都顯著異于 0。 ??? LAKQ ???? l o gl o gl o gl o gl o g ???? LKAY2?l o g 0 . 1 8 0 . 2 3 l o g 0 . 8 1 l o g 0 . 9 6(0 . 4 3 ) (0 . 0 6 ) (0 . 1 5 )Y K L R? ? ? ? ?48 例 3． 貨幣需求量與利率之間的關(guān)系 M r = 2 rM= a ( r 2)b( a 0, b 0) M = a(r 2)b 這里 ， 變量非線性和參數(shù)非線性并存 。 21 ?,? ??1?12?? ?l o g ( ) ( e )? ?aab??????21 ?? ?? 和a? b?50 例 4． 上例在確定貨幣需求量的關(guān)系式時(shí) ， 我們實(shí)際上給模型加進(jìn)了一個(gè)結(jié)束條件 。 我們假定這個(gè)利率水平為 2%。 仍采用對(duì)數(shù)變換 ， 得到 log(Mt) = loga + blog(rt c) + ut t=1,2,… ,n 我們無法將 log(rtc)定義為一個(gè)可觀測(cè)的變量 X, 因?yàn)檫@里有一個(gè)未知量 c。 在這種情況下 ， 只能用估計(jì)非線性模型參數(shù)值的方法 。 此模型無法用取對(duì)數(shù)的方法線性化 ， 只能用非線性回歸技術(shù)進(jìn)行估計(jì) ， 如非線性最小二乘法 （ NLS） 。 計(jì)量經(jīng)濟(jì)軟件包通常提供這類方法 ， 這里給出有關(guān)非線性回歸方法的大致步驟如下： 52 非線性回歸方法的步驟 1． 首先給出各參數(shù)的初始估計(jì)值 （ 合理猜測(cè)值 ） 。 3．計(jì)算各期殘差，然后計(jì)算殘差平方和 ∑e2。 8．最后的參數(shù)估計(jì)值即為最小二乘估計(jì)值。 原假設(shè) H0： β j=0 備擇假設(shè) H1： β j≠0 54 單個(gè)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是自由度為 nk1 的 t 統(tǒng)計(jì)量： ～ t(nk1) 其中 ， 為矩陣 主對(duì)角 線上第 j+1個(gè)元素 。 l o g l o g l o g l o g l o gY A K L v??? ? ? ?56 解： (1)檢驗(yàn) ?的顯著性 原假設(shè) H0： ? = 0 備擇假設(shè) H1： ? ≠0 由回歸結(jié)果，我們有： t＝ 用 ?=24－ 3＝ 21查 t表， 5%顯著性水平下， tc ＝ . ∵ t＝ ? tc ＝ ， 故拒絕 原假設(shè) H0 。 57 (2)檢驗(yàn) ?的顯著性 原假設(shè) H0： ? = 0 備擇假設(shè) H1： ? ≠0 由回歸結(jié)果，我們有： t＝ ∵ t＝ ? tc ＝ ， 故拒絕 原假設(shè) H0 。 58 2． 若干個(gè)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) （ 聯(lián)合假設(shè)檢驗(yàn) ） 有時(shí)需要同時(shí)檢驗(yàn)若干個(gè)系數(shù)是否為 0， 這可以通過建立單一的原假設(shè)來進(jìn)行 。 不失一般性 ，可設(shè)原假設(shè)和備擇假設(shè)為： H0: β 1 =β 2 = … =β g =0 H1: H0不成立 (即 X1, … Xg中某些變量對(duì) Y有 影響 ) 59 分析： 這實(shí)際上相當(dāng)于檢驗(yàn) g個(gè)約束條件 β 1= 0， β 2 = 0， … ， β g = 0 是否同時(shí)成立 。 tKtKtggt XXY uβ...ββ 110 ????? ??? ? 2110 β?...β?β?? ????? ?? KtRktgRgRtR XXYS60 若 H1為真 ， 正確的模型即原模型 ： tKtKtt XXY uβ...ββ 110 ?????據(jù)此進(jìn)行無約束回歸 （ 全回歸 ） ， 得到殘差平方和 S是 H1為真時(shí)的殘差平方和 。 62 所使用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是： ～ F(g, nk1) 其中 ， g為分子自由度 ， nk1為分母自由度 。 ? ?)1( ????KnSgSSF R? ?SSS R ?63 例：給定 20組 Y, X1, X2, X3的觀測(cè)值，試檢驗(yàn)?zāi)Ｐ? 中 X1和 X3對(duì) Y是否有影響？ 解：（ 1）全回歸 估計(jì) 得到： S =∑e2 = 25 （ 2） 有約束回歸 估計(jì) 得到： SR =∑e2 = 30 ttttt XXXY uββββ 3322110 ?????ttt XY uββ 220 ???64 原假設(shè) H0: β 1 = β 3 = 0 備擇假設(shè) H1: H0不成立 我們有： n=20, g=2, k=3 ? ? ? ? 162522530)1( ???????KnSgSSF R用自由度 （ 2， 16） 查 F分布表 ， 5%顯著性水平下 ， ∵ F= FC =, 故接受 H0。 注意到 g=K， 則該檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為： ? ?? 2)( YYS R? ?)1(