維隨機(jī)變量邊緣密度-閱讀頁
2025-06-02 03:40本頁面
【正文】 F Z ??yxyxpzyxdd),(?????xyOzyx ??yxyxpyz d]d),([? ???? ????yux ??yuyyupz d]d),([? ???? ?? ?.d]d),([ uyyyupz? ??? ??? ??三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 1. Z=X+Y 的分布 由此可得概率密度函數(shù)為 .d),()( ? ??? ?? yyyzpzp Z.d),()( xxzxpzp Z ? ??? ??由于 X 與 Y 對(duì)稱 , 當(dāng) X, Y 獨(dú)立時(shí) , 也可表示為)( zp Z,d)()()( ? ??? ?? yypyzpzp YXZ.d)()()( xxzpxpzp YXZ ? ??? ??或,21)( 2 2 ?????? ? yeyp yY ?例 2 設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 與 Y 都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ,求 Z=X+Y 的概率密度 . ,21)( 2 2 ?????? ? xexp xX ?由于解.d)()()( xxzpxpzp YXZ ? ? ?? ??由公式.)2,0( 分布服從即 NZ2zxt ??tee tzd2 1 242? ??? ??? .2 1 42ze ???xeezpxzxZ d21)( 2 )(2 22? ??????? ?xeezxzd2 12242? ????????? ?????得 說明 ).,(~,).,(~),(~,222121222211σσμμN(yùn)ZYXZσμN(yùn)YσμN(yùn)XYX???? 且有仍然服從正態(tài)分布則相互獨(dú)立且設(shè)一般 有限個(gè) 相互獨(dú)立 的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布 . 例如，設(shè) X、 Y獨(dú)立，都具有正態(tài)分布，則 3X+4Y+1也具有正態(tài)分布 . 為確定積分限 ,先找出使被積函數(shù)不為 0的區(qū)域 例 3 若 X和 Y 獨(dú)立 ,具有共同的概率密度 求 Z=X+Y的概率密度 . ??? ???其它,)(0101 xxp? ? ?? ?? dxxzpxpzp YXZ )()()(解 : 由卷積公式 ????????1010xzx也即 ????????zxzx110為確定積分限 ,先找出使被積函數(shù)不為 0的區(qū)域 ??????????????? ???其它,)(021210110zzZzzdxzzdxzp如圖示 : ????????1010xzx也即 ????????zxzx110于是 ? ? ?? ?? dxxzpxpzp YXZ )()()(),m i n (),m a x ( YXNYXM ?? 及令),()(,yFxFYXYX 和的分布函數(shù)分別為它們變量是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)設(shè)的分布及 ),m i n (),m a x (.2 YXNYXM ??則有 }{)(m ax zMPzF ?? },{ zYzXP ???}{}{ zYPzXP ??? ).()( zFzF YX?}{)(m i n zNPzF ?? }{1 zP ???},{1 zYzXP ????}{}{1 zYPzXP ?????) ] .(1) ] [(1[1 zFzF YX ????}]{1[}]{1[1 zYPzXP ???????故有 ),()()(m a x zFzFzF YX?)].(1)][(1[1)(m in zFzFzF YX ????推廣 的分布函數(shù)分別為及則 ),mi n (),ma x ( 2121 nn XXXNXXXM ?? ??),()()()( 21m a x zFzFzFzF nXXX ???),2,1(),(, 21nixFnXXXiXni???它們的分布函數(shù)分別為量個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變是設(shè))].(1[)](1)][(1[1)( 21m i n zFzFzFzF nXXX ????? ?則分布函數(shù)相互獨(dú)立且具有相同的若,)(, 21xFXXX n?,)]([)(m a x nzFzF ? .)](1[1)(min nzFzF ???若 X與 Y 相互獨(dú)立同分布且為連續(xù)型隨機(jī)變量 ,X的分布密度為 p(x), 則 M與 N的分布密度為 上述結(jié)論可以推廣到 n維情形 ,即若設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立同分布 ,令 則它們的分布函數(shù)分別為 )()].(1[2)()().(2)(zpzFzpzpzFzpNM???nXXX . .., 21)m ax nn XXXXM ...,m i n(N ),...,( 1,1, ??它們的概率密度函數(shù)分別為 )(.)](n[1)()(.)](n[)(1n1nzpzFzpzpzFzpNM???n)]([)( zFzF M ?n)]([11)( zFzF N ???.),(( i i i ),( i i ),( i ),2121圖所示如開始工作系統(tǒng)損壞時(shí)當(dāng)系統(tǒng)備用并聯(lián)串聯(lián)連接的方式分別為聯(lián)接而成統(tǒng)由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系設(shè)系統(tǒng)LLLLLX Y1L 2LXY2L1L XY??2L1L例 4 度分別為已知它們的概率密的壽命分別為設(shè) , 21 YXLL?????? ?,0,0,0,)(xxαexf αxX由解 串聯(lián)情況( i), 21 就停止工作系統(tǒng)中有一個(gè)損壞時(shí)由于當(dāng) LLL的壽命為所以這時(shí) L ).,m i n( YXZ ?..0,0的概率密度的壽命接方式寫出試分別就以上三種聯(lián)且其中ZLβαβα ???? ??????? ?,0,0,0,1)(xxexF αxX?????? ?,0,0,0,)(xxαexf αxX ?????? ?,0,0,0,)(yyβeyf βy
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