【正文】 例 19：求 解：由於 ，故可令 ，再利用 積分代換法可得 ? x d x3c o sxx c o s)si n1(c o s 23 ??x d xduxu c o ssi n ???? ?? ???? duux d xxx d x )1(c o s)si n1(c o s 223Cuu ??? 331Cxx ???3s i ns i n 346 例 20：求 ? dxx xs i n解：令 ，則 xu ?xdxdu2?? ?? dxx xdxx x 2s i n2s i n? ???? Cuudu c o s2si n2Cx ??? c o s247 將定理 6用在定積分上，則得如下的定理。 )()( xgxf? ? dxxgxf )()(53 例 24：求 解：令 則 利用部份積分法可得 ? x d xx si nxxgxxf s i n)(,)( ???xxgxf c o s)(,1)( ?????? ???? dxxxxx d xx )c o s()c o s(si n???? x d xxx c o sc o sCxxx ???? si nc o s54 例 25: 求 。 利用部份積分法可得 ? dxxe x1)()( ???? xfxxfxx exgexg ???? )()(?? ?? dxexedxxe xxxCexe xx ???55 例 26: 求 解 :令 再次利用部份積分法將 求出。 定理 9： 定積分 部份積分法 (Integration by Parts for definite Integrals) 若函數(shù) , 的一次微分函數(shù) , 在閉區(qū)間 [a,b]為連續(xù)，則 f g f? g??? ???? bababa dxxgxfxgxfdxxgxf )()()()()()(58 例 28：計(jì)算 解：設(shè) 得 ? 20 c o s? x d xxxxgxxgxfx s i n)(c o s)(),( ?????xd xxxxxd xx si n)(si nco s 222000 ????????20co s2?? x??12 ?? ?59 例 29: 求 。 解 : 令 s(t)表示磁浮火車在座標(biāo)線上的位置 , 則 ,且 s(0)=0。 將 t=0代入上式 ,得 0=s(0)=C,故得磁浮火車的位置函數(shù)為 ttv 8)( ? )300( ?? ttts 8)( ??? ? ????? Ctt dtdttsts 248)()(24)( tts ? )300( ?? ttts 8)( ??61 例 31: Investor‘s Digest目前每週的發(fā)行量為3000份。根據(jù)主編的計(jì)劃 ,從現(xiàn)在算起的第 125週 ,此周刊每週的發(fā)行量為何 ? 解 : 令 S(t)表示從現(xiàn)在算起第 t週的發(fā)行量 ,則 且 S(0)=3000。 故得 從現(xiàn)在算起的第 125週 ,此周刊的發(fā)行量為每週 份。求此新型家用電腦 Galaxy 上市 t月後的總銷售量 ,又此新型家用電腦 Galaxy 上市 1年後的總銷售量為何 ? 解 : 令 N(t)表示新型家用電腦 Galaxy 上市 t月後的總銷售量 ,則 所以 t 0 . 0 51 5 0 0 e2 0 0 0 )600( ?? t 0 . 0 5 t1500e2020( t ) ??N )600( ?? t63 dttN t )1 50 02 00 0()( ?? ??? ? ??? dtedt Cet t ???? ? 115002020Cet t ??? ? ,302 0 0 0由於 0=N(0)=30,000+C,故得 C=?30,000,意即 家用電腦 Galaxy 上市 1年後的總銷售量為 部電腦 )1(000,302 0 0 0)( ??? ? tettN4 6 4,10)1(0 0 0,30)12(2 0 0 0)12( )12( ???? ?eN64 例 34: Staedtler Office Equipment 的管理階層決定其每天所生產(chǎn)的電動(dòng)削鉛筆機(jī)的邊際成本函數(shù)為 其中 的單位為 (美金 /電動(dòng)削鉛筆機(jī) ),而 x代表所生產(chǎn)的電動(dòng)削鉛筆機(jī)數(shù)量。 0 0 0 0 )( 2 ???? xxxC)( xC?65 解 : (a)總成本 C(x)為 的反微分。 )( xC?? ???50 00)()0()500( dxxCCC? ???50002 )( dxxx1 5 0 0|) 0 0 0 0 ( 500023 ???? xxx66 (b)每天製造第 201個(gè)至第 400個(gè)電動(dòng)削鉛筆機(jī)的總成本為 =525 美金 ? ??? 400201 )()201()400( dxxCCC? ???4002012 )( dxxx40020203 |) 0 0 0 0 ( xxx ???67 例 35: 為 Elektra Electronics 公司所做的效率報(bào)告顯示 , 從早上八點(diǎn)算起 t小時(shí)後 ,平均每個(gè)工人組裝 Space Commander walkietalkie 的速率為 從早上開(kāi)始工作 1小時(shí)內(nèi) ,平均每個(gè)工人可組裝多少個(gè) Space Commander walkietalkie? 15123)( 2 ???? tttf )40( ?? t解 : 令 N(t)代表 ,從早上開(kāi)始工作 t小時(shí)內(nèi) ,平均每個(gè)工人可組裝 Space Commander walkietalkie 的數(shù)量 ,則 15123)()( 2 ?????? tttftN )40( ?? t68 所以從早上開(kāi)始工作 1小時(shí)內(nèi) ,平均每個(gè)工人可 組裝 Space Commander walkietalkie 的數(shù)量 為 ? ???10)()0()1( dttNNN1023 |156 ttt ????? ????102 )15123( dttt=20個(gè) 69 例 36: 某城市消耗電力的速率以指數(shù)的方式成長(zhǎng) ,其中指數(shù)值 k=。 tetR )( ?70 再令 C(t)代表 ,從現(xiàn)在算起 t年內(nèi)的總消耗電力 ,則 因此未來(lái)三年應(yīng)生產(chǎn) = 百萬(wàn) kWh的電力才能滿足最低需求。 解 : 令 T(t)代表此油井 t年後所生產(chǎn)的原油總量 (以千桶為單位 ),則 利用部分積分法 ,令 則 。此油井 t年後所生產(chǎn)的原油總量為 千桶。 76 例 40: 某娛樂(lè)公司記錄其所安裝的電玩遊戲。 且定滿足 的 t稱為此電玩遊戲的生命週期。 (b) 求此電玩遊戲在最近的生命週期內(nèi)的總毛利。 ? ?????30)]()([)0()3( dttCtRPP(b) |30 29)29( tedte tt ????????)018()618(???????????ee此電玩遊戲在最近的生命週期內(nèi)的總毛利大約 為 $7984