數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科畢業(yè)論文____關(guān)于幾種插值多項(xiàng)式的比較分析-閱讀頁
2025-03-19 01:50本頁面
【正文】 數(shù)值 )(), ... .. .,(),( 10 xxx nggg 。所以可得到差商表如下所示 ]1[ ： 表 1 差商表 xk )(xkg 一 階差商 二階差商 三階差商 x0 )( 0xg x1 )( 1xg ],[ 10 xxg x2 )( 2xg ],[ 21 xxg ],[ 210 xxxg x3 )( 3xg ],[ 32 xxg ],[ 321 xxxg ],[ 3210 xxxxg … … … … … 由差商的定義可以得出 ]75,1[ ， ： ????????????????? ], . . . ,[)(], . . . ,[], . . . ,[. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .],[)(],[],[],[)()()(01010101100000xxxxxxxxxxxxxxxxxnnnn xgxgxgxgxgxgxgxgxg 所以有： ?)(xg ?)(0xg )( 0xx? ?],[ 10 xxg ))(( 10 xx xx ?? ?? .. .. ..],[ 210 xxxg )())(( 110 xxx nxxx ???? ? ?],...,[ 10 xxx ng ],. .. ,[)( 0 xxx nn xfx ? ?? )(xNn )(xRn 其中： ?)(xNn ?)( 0xg )( 0xx? ?],[ 10 xxg ))(( 10 xx xx ?? ?? .. .. ..],[ 210 xxxg)())(( 110 xxx nxxx ???? ? ],...,[ 10 xxx ng 。 由于 n 次 Newton 插值多項(xiàng)式與 n 次 Lagrange 插值多項(xiàng)式是恒等的，只是表達(dá)方式不同，即 Newton 插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)和 Lagrange 插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)相同： ??? )()()( xxgx NR nn ?? ?? )()!1( )( 1)1( xn nnf ?? ],...,[ 10 xx ng )(1 xn?? . 當(dāng)用 Newton 插值多項(xiàng)式計(jì)算較高次的插值時(shí)，只需添加一項(xiàng)對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)和在這節(jié)點(diǎn)處的計(jì)算即可，而表達(dá)式前面的計(jì)算仍然有效，從而節(jié)省了計(jì)算量。所以 Newton 插值多項(xiàng)式在這一點(diǎn)上克服了承上啟下的問題。 Hermite 插值法 定義 ],3,2,1[ ：設(shè)在 1?n 個(gè)不同的插值節(jié)點(diǎn) xxxxn,......, 210上，給定)(xy ii f? ， nif xm ii ,. .. .. .,2,1,0),( ??? 。 由于 Hermite 插值是帶有導(dǎo)數(shù)的插值法，所以在運(yùn)用 Hermite 插值法時(shí)就必須知道在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值和其導(dǎo)數(shù)值，且還要求它們相等 .如表 2 所示，知道了節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值和其導(dǎo)數(shù)值： 表 2 節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)表 xi x0 x1 x2 … xn )(xiy y0 y1 y2 … yn )(xiy? b0 b1 b2 … bn 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 6 由表 2 可構(gòu)造出一個(gè)次數(shù)不高于 12?n 的多項(xiàng)式 )(12 xHn?，則稱)(12 xHn? 為 Hermite 插值多項(xiàng)式，即 ?? )(12 xH n ))()((0 xx iiini i by ?? ???。這時(shí)就出現(xiàn)了計(jì)算出來的值與真實(shí)值相差很大的問題，比如說常見的龍格現(xiàn)象 .針對這類問題，通常采用分段低次多項(xiàng)式去分段被插函數(shù)。由于在許多實(shí)際問題中，用分段低次插值法去逼近函數(shù)，不僅要求被插函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，而且二階導(dǎo)數(shù)也是一樣。 設(shè)區(qū)間 ],[ba 上有 1?n 個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)為 ba xxxn ????? ?10，且這些節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值分別為 ),2,1,0( nkyk ??。 2 、例題 例 1 ]10,9,1[ 給出自然對數(shù) Inx 和它的導(dǎo)數(shù) 39。然而從例題中可以發(fā)現(xiàn)分別用 Lagrange插值公式和 Newton 插值公式計(jì)算出來的結(jié)果了出現(xiàn)差異，那是因?yàn)橛?jì)算的次數(shù)不同，舍入的誤差不同造成的。 然后再在圖 1 的基礎(chǔ)上用分段插值法計(jì)算，并在 Matlab 上實(shí)現(xiàn) [見附錄2]，得出圖像如下： 圖 2 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 12 由圖 2中可以看出，用分段插值法計(jì)算出來的結(jié)果與真實(shí)值相差很小，所以分段插值法克服了高次 Lagrange 插值法的缺點(diǎn)，不但不會出現(xiàn)龍格的現(xiàn)象，也不會出現(xiàn)不收斂的現(xiàn)象。 同理運(yùn)用三次樣條插值法計(jì)算，由 Matlab 得到以下圖像 [見附錄 3]： 圖 3 同樣由圖 3 中可以看出，三次樣條插值法不僅克服了高次 Lagrange 插值法的不收斂性，同時(shí)也克服了分段插值法的插值精度低、在節(jié)點(diǎn)處不光滑的缺點(diǎn)，即提高節(jié)點(diǎn)處的光滑性。分別介紹了各種插值法實(shí)用范圍和優(yōu)缺點(diǎn)，并通過例題論證了其結(jié)果，加深其印象 .讓讀者能夠很好的估計(jì)誤差，使其最小 .文中同時(shí)運(yùn)用了 Matlab 解決問題，使其計(jì)算量大大的減少 .也為人們在以后遇到需要用插值法解決的諸多實(shí)際問題的時(shí) 候，提供一點(diǎn)參考資料。 y=1./(1+x.^2)。 y0=lagrange(x,y,x0)。 plot(x0,y0,’ — r’ ) hold on plot(x0,y1,’ b’ ) legend(拉格朗日插值曲線，‘原曲線’ ) y2=interp1(x,y,x0)。 y=1./(1+x.^2)。 y0=lagrange(x,y,x0)。 y2=interp1(x,y,x0,’ spline’ )。 plot (x0,y1,’ b’ ,x0,y0,’ — r’ ,x0,y2,’ xk’ ,x0,y3,’ y’ )。愿你們身體健康，萬事如意！
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