高考理科數(shù)學函數(shù)的奇偶性、周期性復習資料-閱讀頁
2024-09-18 08:57本頁面
【正文】 高中總復習（第 1輪） 全國版 34 題型四：函數(shù)周期性的定義 1. 已知定義在 R上的函數(shù) f(x)滿足f(x+2)+f(x)=0，則 f(x)的周期是 ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 理科數(shù)學 高中總復習（第 1輪） 全國版 36 已知定義在 R上的奇函數(shù) f(x)滿足： 對任意實數(shù) x都有 f(x+2)+f(x)=0， 且當 x∈ ［ 0， 1］時， f(x)=3x，則 的值為 ( ) A. 1 B. 1 C. D. 13 ?13()f 473 理科數(shù)學 高中總復習（第 1輪） 全國版 38 題型五：抽象函數(shù)奇偶性、周期性的判定與證明 2. 定義在 R上的函數(shù) f(x)滿足： f(x)=f(4x)且 f(2x)+f(x2)=0. (1)證明：這個函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)； (2)若 f(3)=1，求 f(2020)的值 . 理科數(shù)學 高中總復習（第 1輪） 全國版 40 點評： 處理抽象函數(shù)的奇偶性和周期性的關鍵是對其抽象性質進行變形 、 配湊 ， 如本題中觀察到 2x與 x2是互為相反數(shù) ， 則可判斷其奇偶性 ， 然后利用奇偶性將 f(4x)變換為 f(x4). 理科數(shù)學 高中總復習（第 1輪） 全國版 42 證明：由已知 f(x)=f(x)， 且 f(a+x)=f(ax)， 所以 f(2a+x)=f［ a+(a+x)］ =f［ a(a+x)］ =f(x)=f(x)， 所以 f(4a+x)=f(2a+x)=f(x)， 所以 f(x)是周期函數(shù)，且周期為 4a. 理科數(shù)學 高中總復習（第 1輪） 全國版 44 因為 y=f(2x)關于直線 對稱， 所以 f(a+2x)=f(a2x)， 所以 f(2a2x)=f[a+(a2x)]=f[a(a2x)] =f(2x). 同理， f(b+2x)=f(b2x)， ax?2 理科數(shù)學 高中總復習（第 1輪） 全國版 46 點評： 本題考查函數(shù)的對稱性以及周期性 ，類比三角函數(shù)中的周期變換和對稱性的解題規(guī)則處理即可 .① 若函數(shù) y=f(x)的圖象關于直線x=a和 x=b對稱 (a≠b)， 則這個函數(shù)是周期函數(shù) ，其周期為 2(ba)； ② 若函數(shù) y=f(x)的圖象關于直線 x=a和點 (b,0)對稱 (a≠b)， 則這個函數(shù)是周期函數(shù) ， 其周期為 4(ba)。 高中總復習（第 1輪） 全國版 47 已知定義在 R上的函數(shù) f(x)滿足 f(x+4)=f(x)，且 f(4x)=f(x)， 當 0≤ x1x2≤ 2時都有 f(x1)f(x2)，則下列結論正確的是 ( ) A． f()f(5)f() B． f(5)f()f() C． f(5)f()f() D． f()f(5)f() C 理科數(shù)學 高中總復習（第 1輪） 全國版 49 已知定義在 R上的偶函數(shù) f(x)滿足 :對任意實數(shù) x都有 f(x+2)=f(x)成立，且當 x∈ ［ 2， 3］時， f(x)=x，則當 x∈ ［ 1， 0］時， f(x)的解析式為 ( ) A. x+4 B. x2 C. 3|x+1| D. 2+|x+1| 參考題 理科數(shù)學 高中總復習（第 1輪） 全國版 51 1. 證明抽象函數(shù)的周期性 ， 關鍵是找出其周期 ， 一般通過嘗試變形或類比三角函數(shù)獲得 . 2. 求周期函數(shù)在某個區(qū)間內的解析式 ，先要在該區(qū)間內選取自變量 ， 再通過周期調節(jié)到已知區(qū)間 ， 從而將它轉化為已知區(qū)間內的函數(shù)解析式 . 理科數(shù)學 高中總復習（第 1輪） 全國版 53 5. 函數(shù)的周期性有時是一個隱含條件 ，根據(jù)解題的需要 ， 可先推斷函數(shù)的周期性 ，再解決相應問題 . 6. 研究周期函數(shù)的單調性 、 值域等性質 ，只需考慮一個周期就能得出 ， 同時要注意利用數(shù)形結合的思想分析問題和解決問題 .
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