【正文】 ( 1 ) ( ) 2* ( ) * ( )kkX M X M ?? ?? 時，則停止迭代； 若 kMR? 或上式不成立，則取 ( 1)kM? =C ()kM ； (0)X = ()*( )kXM ； k=k+1，并轉(zhuǎn)向步驟 2）。它是將內(nèi)點法與外點法的懲罰函數(shù)形式結(jié)合在一起，用來求解既有不等式約束又有等式約束條件的最優(yōu)化問題的。根據(jù) Fiacco 等建議的關(guān)系式 ()()1kkM r? 將懲罰因子統(tǒng)一用 ()kr 表示，則混合法的懲罰函數(shù)又可表達(dá)為 ? ?2( ) ( )()11( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 0 )11( , ) ( ) ( )()( 0 l im 0 )pmkkvkuvukX r f X r h xgxrr r r r??????? ? ? ????? ? ? ? ?????… ， 或 ? ?2( ) ( )()11( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 0 )1( , ) ( ) l n ( ) ( )( 0 l im 0 )pmkkuv kuvkX r f X r g X h xrr r r r??????? ? ? ????? ? ? ? ?????… ， 當(dāng) ()fX受約束于 ( ) 0 ( 1 , 2 ,ug X u?? … ， m)時，則混合法的懲罰函數(shù)的表達(dá)式為 ? ?2( ) ( )()11( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 0 )11( , ) ( ) ( )()( 0 l im 0 )pmkkvkuvukX r f X r h xgxrr r r r??????? ? ? ????? ? ? ? ?????… ， 或 第 25 頁 共 36 頁 ? ?2( ) ( )()11( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 0 )1( , ) ( ) l n ( ) ( )( 0 l im 0 )pmkkuv kuvkX r f X r g X h xrr r r r??????? ? ? ????? ? ? ? ?????… ， 混合法與內(nèi)點法及外點法一樣，屆于序列無約束極小化 (SUMT)方法中的一種。這時，其初始點 (0)X 應(yīng)為內(nèi)點； 而 (0)r 值可參照內(nèi)點法選取；其迭代程序則與內(nèi)點法的相類似。 2) 在可行域內(nèi)選擇一個嚴(yán)格滿足所有不等式約束的初始點 (0)X 。 4) 撿驗迭代終止準(zhǔn)則，如果滿足要求，則停止迭代，并以 ()*( )kXr 為原目標(biāo)函數(shù) ()fX的約束最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)入下一步。常取 C＝ 0． 1。 2． 2． 5 三種算法的比較 第 26 頁 共 36 頁 算法 特點 適用場合 懲罰函數(shù)內(nèi)點法 將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列無約束優(yōu)化問題，初始點應(yīng)取為嚴(yán)格滿足各個不等式約束條件的內(nèi)點，懲罰因子應(yīng)取為單調(diào)遞減的正數(shù)序列，初試罰因子的選擇恰當(dāng)與否對收斂速度和求解成敗有較大影響。 懲罰函數(shù)外點法 將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列無約 束優(yōu)化問題，初始點可任意選，罰因子應(yīng)取為單調(diào)遞增數(shù)列，初試罰因子及遞增系數(shù)應(yīng)取適當(dāng)?shù)慕檀笾怠? 懲罰函數(shù)混合法 將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列無約束優(yōu)化問題，初試點的選取與內(nèi)點法相同。 第 27 頁 共 36 頁 MATLAB(MATrix LABoratory)是功能十分強(qiáng)大的工程計算及數(shù)值分析軟件。 90 年代又逐步拓展其數(shù)值計算、符號解析運 算、文字處理、圖形功能等等，并采用面向?qū)ο蟮某呒壵Z言作為用戶界面，使 MATLAB 成為一個多領(lǐng)域、多學(xué)科、多功能的優(yōu)秀科技應(yīng)用軟件，占據(jù)了數(shù)值型軟件市場的主導(dǎo)地位。 圖形用戶界面 是由窗口、光標(biāo)、按鍵、菜單、文字說明等對象（ Objects）構(gòu)成的一個用戶界面。 如果想向別人提供應(yīng)用程序，想進(jìn)行某種技 術(shù)、方法的演示，想制作一個供反復(fù)使用且操作簡單的專用工具，那么圖形用戶界面也許是最好的選擇之一。 最終的軟件界面如圖 31 所示 ： 第 28 頁 共 36 頁 圖 31 3． 2 軟件的使用 1） 打開 Matlab 軟件，在 mand window 中輸入 youhua，按回車，即可啟動優(yōu)化軟件； 2） 對于一個優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，首先選擇優(yōu)化算法 ,罰函數(shù)內(nèi)點法不能用于求解含有等式約束的優(yōu)化問題 ； 3） 參數(shù)的輸入：目標(biāo)函數(shù)、約束條件、變量的上下界值、收斂精度、懲罰因子等；其中，約束條件的輸入需要事先在參數(shù)輸入框中的和 中分別輸入不等式和等式約束的個數(shù)，然后鼠標(biāo)左鍵單擊確定，便自動生成約束條件的輸入框，在其中輸入 約束條件即可； 特別 注意 ：約束條件的輸入方式為標(biāo)準(zhǔn)格式，如 x1+x20 應(yīng)寫為 x1x20,而當(dāng)目標(biāo)函數(shù)多個變量時（如 x1， x2），約 第 29 頁 共 36 頁 束條件為少變量形式時（如 x10） ，應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)格式： x1+0*x20. 4） 待所以參數(shù)錄入完成后，單擊 按鈕，軟件自動尋優(yōu)，計算結(jié)束后，尋優(yōu)結(jié)果顯示在結(jié)果輸出框中； 5） 對于二維數(shù)學(xué)模型，可以以圖象的形式顯示尋優(yōu)結(jié)果，在計算完畢后，單擊 按鈕，則可以在左邊的繪圖框中顯示目標(biāo)函數(shù)的等值線、約束條件圖形線和每 次迭代尋優(yōu)所得的點。 第 30 頁 共 36 頁 4 優(yōu)化算例與分析 優(yōu)化算例 算例一： 2212m i n ( ) ( 2 ) ( 1 )f x x x? ? ? ? s. t. 21 1 2( ) 0g x x x? ? ? 2 1 2( ) 2 0g x x x? ? ? ? 理論最優(yōu)解： *x? [1 1]T ( *)fx? 1 分別用本課題開發(fā)的軟件和 matlab 優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù)求解，結(jié)果如表41所示： 算法 最優(yōu)點 最優(yōu)值 迭代次數(shù) 罰函數(shù)內(nèi)點法 [1 1] 1 12 罰函數(shù)外點法 [1 1] 8 罰函數(shù)混合法 [ 1] 1 11 matlab 優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù) fmincon [1 1] 1 表 41 算例二： 2 2 21 2 3 1 2 1 3m i n ( ) 1 0 0 0 2f x x x x x x x x? ? ? ? ? ? s. t. 11( ) 0g x x? ? ? 12( ) 0g x x? ? ? 13( ) 0g x x? ? ? 2 2 21 2 31 ( ) 2 5 0h x x x x? ? ? ? ? 第 31 頁 共 36 頁 2 1 2 3( ) 8 1 4 7 5 6 0h x x x x? ? ? ? ? 理論最優(yōu)解： *x? [ ]T ( *)fx? 分別用本課題開發(fā)的軟件和 matlab 優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù)求解，結(jié)果如表42所示： 算法 最優(yōu)點 最優(yōu)值 迭代次數(shù) 罰函數(shù)內(nèi)點法 罰函數(shù)外點法 [ ] 1 罰函數(shù)混合法 [ ] 10 matlab 優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù) fmincon [ ] 表 42 算例二中，用 matlab 優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù) fmincon 求解時，命令窗口中出現(xiàn)如下提示： Maximum number of function evaluations exceeded。 結(jié)果分 析 從以上兩個算例的結(jié)果可以看出： （ 1） 本課題開發(fā)的軟件起搜索精度是高的； （ 2） 相對優(yōu)化工具箱的優(yōu)化函數(shù)而言，其收斂速度不夠快，還有待改進(jìn)，但優(yōu)化工具箱中的優(yōu)化函數(shù)是 matlab 自帶的函數(shù)，其優(yōu)先級最高； （ 3） 在人機(jī)交互方面，本軟件有著絕對的優(yōu)勢，圖形用戶界面友好、易懂， 第 32 頁 共 36 頁 而優(yōu)化工具箱中的優(yōu)化函數(shù)使用起來頗費周章。并可以適當(dāng)?shù)目s放生成的圖形； （ 4）本軟件平臺具有方便易用的圖形用戶界面 (GUI )； （ 5）提供了一定的錯誤檢測功能。 （ 4） 編譯成可 執(zhí)行文件（ .exe），能脫離 matlab 單獨運行。此外，導(dǎo)師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)術(shù)作風(fēng)和和藹可親的性格給我留下了深刻的印象。感謝所有的老師四年來對我的培養(yǎng)。 第 35 頁 共 36 頁 參考文獻(xiàn) 1 劉惟信 . 機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計（第二版） . 北京：清華大學(xué)出版社， 1994 2 陳立周主遍 . 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計方法（第三版） . 北京：冶金工業(yè)出版社， 2020 3 鄭阿奇主編 . Matlab 實用教程 . 北京：電子工業(yè)出版社， 2020 4 阮沈勇，王永利，桑群芳 . Matlab 程序設(shè)計 . 北京：電子工業(yè)出版社， 2020 5 飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心 . MATLAB . 北京 :電子工業(yè)出版社， 2020 6 邢文訓(xùn)，謝金星 . 現(xiàn)代優(yōu)化計算方法 . 北京：清華大學(xué)出版社， 1999 7 Stephen J. Chapman. Matlab Programming for Engineers (2nd Edition).Brooks， November 2020 8 , Li, D, Multiobjective Optimization Design with Pareto Geic Algorithm, J. Structural engineering, , , 1997 9 Anderson,M,Burkhalter,J,Jerkins,R,Missile Aerodynamic Optimization Using Geic Algorithms, , , , SepOct,2020 10 Bussler, Michael, Dvorak, Paul, How engineering will be done in the 21st century, Machine Design, Vol. 69, Oct,1997 11 陳寶林 . 最優(yōu)化理論與算法 . 北京：清華大學(xué)出版社， 1989 12 張翔 .優(yōu)化設(shè)計方法及編程 .北京 :中國農(nóng)業(yè)大 學(xué)出版社， 2020 13 精英科技，郝紅偉編著． 實例教程 . 北京：中國電力出版社， 2020 14飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心 . MATLAB7基礎(chǔ)與提高 . 北京 :電子工業(yè)出版社， 2020 15 孫靖民 . 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計（第二版） .北京：機(jī)械工業(yè)出版社， 1999 第 36 頁 共 36 頁