20xx年高考數(shù)學(xué)北京理科-閱讀頁(yè)
2024-09-10 10:55本頁(yè)面
【正文】 ≤ ． 18．（共 13 分） 解：由圖可知，參加 活動(dòng) 1 次、 2 次和 3 次的學(xué)生人數(shù)分別為 50 和 40． （ I）該合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)為 1 1 0 2 5 0 3 4 0 2 3 0 2 . 31 0 0 1 0 0? ? ? ? ? ??． （ II ）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率為2 2 21 0 5 0 4 00 2100 4199C C CP C????． （ III）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，記 “這兩人中一人參加 1 次活動(dòng)，另一人參加 2 次活動(dòng) ”為事件 A ， “這兩人中一人參加 2次活動(dòng)，另一人參加 3次活動(dòng) ”為事件 B ， “這兩人中一人參加 1 次活動(dòng)，另一人參加 3 次活動(dòng) ”為事件 C ．易知 ( 1) ( ) ( )P P A P B? ? ? ? 1 1 1 11 0 5 0 5 0 4 0241 0 0 1 0 0 5099C C C CCC? ? ?； ( 2) ( )P P C? ?? 第 10 頁(yè) 共 11 頁(yè) 1110 402100 899CCC??； ? 的分布列： ? 0 1 2 P 4199 5099 899 ? 的數(shù)學(xué)期望： 4 1 5 0 8 20 1 29 9 9 9 9 9 3E ? ? ? ? ? ? ? ?． 19．（共 13 分） 解：（ I）依 題意，以 AB 的中點(diǎn) O 為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系 Oxy? （如圖），則點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)為 x ． 點(diǎn) C 的縱坐標(biāo) y 滿足方程 22 1( 0)4xy yrr?? ≥， 解得 222 ( 0 )y r x x r? ? ? ? 221 ( 2 2 ) 22S x r r x? ? ? 222( )x r r x? ? ?， 其定義域?yàn)?? ?0x x r?? ． （ II）記 2 2 2( ) 4( ) ( ) 0f x x r r x x r? ? ? ? ?， 則 2( ) 8 ( ) ( 2 )f x x r r x? ? ? ?． 令 ( ) 0fx? ? ，得 12xr? ． 因?yàn)楫?dāng) 0 2rx?? 時(shí)， ( ) 0fx? ? ；當(dāng) 2r xr?? 時(shí)， ( ) 0fx? ? ，所以 12fr??????是 ()fx的最大值． 因此，當(dāng) 12xr? 時(shí)， S 也取得最大值 ，最大值為 21 3 322f r r???????． 即梯形面積 S 的最大值為 2332 r ． C D A B O x y 第 11 頁(yè) 共 11 頁(yè) 20．（共 13 分） （ I）解：集合 ? ?0123， ， ， 不具有性質(zhì) P ． 集合 ? ?123?， ， 具有性質(zhì) P ， 其相應(yīng)的集合 S 和 T 是 ? ?( 1 3) (3 1)S ? ? ?， ， ， ， ? ?(2 1) 2 3T ? ? ? ?， ， ，． （ II）證明：首先，由 A 中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì) ()ijaa， 共有 2k 個(gè)． 因?yàn)?0 A? ，所以 ( ) ( 1 2 )iia a T i k??， ， ， ，； 又因?yàn)楫?dāng) aA? 時(shí)， aA?? 時(shí)， aA?? ，所以當(dāng) ()ija a T?， 時(shí)，( ) ( 1 2 )jia a T i j k??， ， ， ， ，． 從而，集合 T 中元素的個(gè)數(shù)最多為 21 ( 1)()22kkkk ??? ， 即 ( 1)2kkn ?≤ ． （ III）解： mn? ，證明如下： （ 1）對(duì)于 ()a b S?， ，根據(jù)定義， aA? ， bA? ，且 a b A?? ，從而 ()a b b T??， ． 如果 ()ab， 與 ()cd， 是 S 的不同元素，那么 ac? 與 bd? 中至少有一個(gè)不成立，從而a b c d? ? ? 與 bd? 中也至少有一個(gè)不成立． 故 ()abb? ， 與 ()c d d? ， 也是 T 的不同元素． 可見， S 中元素的個(gè)數(shù)不多于 T 中元素的個(gè)數(shù)，即 mn≤ ， （ 2）對(duì)于 ()a b T?， ，根據(jù)定義， aA? ， bA? ，且 a b A?? ，從而 ()a b b S??， ．如果 ()ab， 與 ()cd， 是 T 的不同元素，那么 ac? 與 bd? 中至少有一個(gè)不成立，從而a b c d? ? ? 與 bd? 中也不至少有一個(gè)不成立， 故 ()a b b? ， 與 ()c d d? ， 也是 S 的不同元素． 可見， T 中元素的個(gè)數(shù)不多于 S 中元素的個(gè)數(shù)，即 nm≤ ， 由（ 1）（ 2）可知， mn? ．
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