注冊(cè)巖土工程師數(shù)學(xué)考試復(fù)習(xí)資料-閱讀頁(yè)
2024-09-09 17:44本頁(yè)面
【正文】 (x,y)=1， ? 為 D 的面積，則 ?= 性質(zhì) 如果在 D 上， f(x,y)≤ （ x,y），則有不等式， 特殊地，由于 |f(x,y)| ≤f(x,y) ≤|f(x,y)| ，又有不等式 性質(zhì) 設(shè) M,m 分別是 f(x,y)在閉區(qū)域 D 上的最大值和最小值， ? 為 D 的 面積，則有 m?≤ ≤M? 性質(zhì) （二重積分的中值定理）設(shè)函數(shù) f(x,y)在閉區(qū)域 D 上連續(xù)， ? 為 D 的面積，則在 D 上至少存在一點(diǎn)（ ξ ， η ）使得下式成立： 1. 3 二重積分的計(jì)算： 按照二重積分的定義來(lái)計(jì)算二重積分，對(duì)少數(shù)特別簡(jiǎn)單的被積函數(shù)和積分區(qū)域來(lái)說(shuō)是可行的，但對(duì)于一般的函數(shù)和區(qū)域來(lái)說(shuō)，這不是一種切實(shí)可行的方法，現(xiàn)在我們來(lái)講兩種計(jì)算二重積分的方法。 解：在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域 D 可表示為 0≤r≤a ， 0≤θ≤2π ，由公式可得， = 1. 4 三重積分的計(jì)算： （ 1） 用直角坐標(biāo)來(lái)計(jì)算：設(shè) ={(x,y,z)|z1(x,y)≤z≤z2(x,y),(x,y)∈D}且 D={(x,y)| ≤y≤ ,a≤x≤b} 則 例 計(jì)算： I= ，其中 是由 z=0,y+z=1,y=x2所圍成的區(qū)域。 解： 1≤z≤1 ， 0≤r≤ ,0≤θ≤2л 則 I= （ 3） 利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分：直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系：x=rsin cosθ,y=rsin sinθ,x=rcos ,(0≤θ≤2л, 0≤ ≤л, 0≤r≤+∞) ， 此處要注意如何判斷 θ 、 、r 的取值， r 為原點(diǎn) O 與點(diǎn) M 間的距離， 為有向線段 OM 與 z 軸正向所夾的角， θ 為從正 z 軸來(lái)看自 x 軸按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線段 OP 的角，這里 P 為點(diǎn) M 在 xoy 面上的投影。 概念：設(shè) L 為 xoy 平面內(nèi)的一條光滑曲線弧，函數(shù) f(x,y)在 L 上有界，用 L 上的點(diǎn) M1，M2， ?M n1把 L 分成 n 個(gè)小段，設(shè)第 i 個(gè)小段的長(zhǎng)度為 △si ，又（ ξi,ηi ）為第 i 個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn)，作乘積 f（ ξi,ηi ） △si(i=1,2,?n) ，并作和 ,如果當(dāng)各小弧段的長(zhǎng)度的最大值 λ 趨向于 0 時(shí)，這和的極限存在，則稱此極限為函數(shù) f(x,y)在曲線弧 L 上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或第一類曲線積分，記作 即= 其中 f(x,y)叫做被積函數(shù)， L 叫做積分弧段。 第一類曲線積分的性質(zhì)： （ 1）（線性性） 其中 α 、 β 為常數(shù)） （ 2）（可加性）當(dāng) L=L1+L2 時(shí) 第一類曲線積分的計(jì)算方法：設(shè) f(x,y)在曲線?。簧嫌卸x且連續(xù)，；的參數(shù)方程為（ α≤t≤β ）其中 、 在 [α,β] 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 ，則曲線積分 存在，且= （ αβ ） 如果曲線 L 由方程 y= (x)（ x0≤x≤X ）給出，則有 （ x0≤X ）類似地，如果曲線 L 由方程 x= 給出，（ y0≤y≤Y ）則有 （ y0≤Y ） 例 計(jì)算 ，其中 L 是拋物線 y=x2上點(diǎn) O（ 0， 0）與點(diǎn) B（ 1， 1）之間的一段弧。類似地，如果 存在，則稱此極限為函數(shù) Q(x,y)在有向曲線弧 L 上對(duì)坐標(biāo)y 的曲線積分，或 Q(x,y) dy 在有向曲線弧 L 上的第二類曲線積分，記作 即= , = 當(dāng) P(x,y)、 Q(x,y)在有向光滑曲線弧 L 上連續(xù)時(shí)， , 都存在， + 通常記作 第二類曲線積分的性質(zhì)： （ 1） 當(dāng) L=L1+L2 時(shí)， （ 2） = 其中 L 表示與 L 反向的有向曲線弧。 第二類曲線積分的計(jì)算：設(shè) P(x,y)、 Q(x,y)在有向曲線弧 L 肯定義且連續(xù)， L 的參數(shù)方程為 其中 t單調(diào)地由 變到時(shí)，點(diǎn) M（ x,y）從 L 的起點(diǎn) A 沒 L運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn) B， 、在以 及 為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 ，則曲線積分 存在，且= 如果 L 由方程 y= 或 x= 給出，則有= 例 例 計(jì)算 ，其中 L 為拋物線 y=x2 上點(diǎn) A（ 1， 1）與點(diǎn) B（ 1， 1）之間的一段弧。 解： 解方程組： 得到兩組解， x=0,y=0 及 x=1,y=1，即這兩拋物線的交點(diǎn)為(0,0),(1,1)， A= (2)旋轉(zhuǎn)體的體積：旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，由連續(xù)曲線 y=f(x)，直線 x=a,x=b 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體體積為 vx= ,類似地，繞 y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體體積為 vy= 例 計(jì)算由橢圓 所圍成的圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。取 x 為積分變量，它的變化區(qū)間為 [a,a]，旋轉(zhuǎn)橢球體中相應(yīng)于 [a,a]上任一小區(qū)間 [x,x+dx]的薄片的體積，近似于底半徑為 、高為 dx 的扁圓柱體的體積，即體積元素 dV= ，于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為 （ 3）平行截面面積為已知的立體的體積： 設(shè)立體由某曲面及平面 x=a,x=b 所圍成，過(guò)點(diǎn)且垂直于 x 軸的截面面積為 A(x)，則其體積為 v= (4)平面曲線的弧長(zhǎng)： 設(shè)曲線弧的方程為 y=y(x),(a≤x≤b),y(x) 在 [a,b]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其弧長(zhǎng)為 設(shè)曲線弧的參數(shù)方程為 ，（ α≤t≤β ）其中 、 在 [α ， β]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其弧長(zhǎng)為 S= 設(shè)曲線弧的極坐標(biāo)方程為 r=r(θ)（ α≤θ≤β ），其中 r(θ) 在 [α,β] 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其弧長(zhǎng)為 例 1 計(jì)算曲線 y=x3/2 上相應(yīng)于 x 從 a 到 b 的一段弧的長(zhǎng)度。 解：曲面在 xoy 面上的投影區(qū)域 D 為 x2+y2≤16 ，故 = （ 2）平面薄片的重心與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：設(shè)平面薄片占有 xoy 面上的區(qū)域 D，在點(diǎn) (x,y)處的面密度為 ρ(x,y) 假設(shè) ρ(x,y) 在 D 上連續(xù)，則薄片的質(zhì)量為： M= ，薄片重心的坐標(biāo)為： 、 薄片關(guān)于 x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： Ix= 薄片關(guān)于 y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： Iy= 例 1 求半徑為 a 的均勻半圓薄片（面密度為常量 ρ ）對(duì)于其直徑邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 二、 重點(diǎn)： 本講的重點(diǎn)是向量積、數(shù)量積的計(jì)算，兩平面的夾角、點(diǎn)到平面的距離，空間直線的一般方程以及兩直線的交角。 三、 內(nèi)容講解： 向量代數(shù)：
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