巖土工程師數(shù)學(xué)考試重點內(nèi)容講解-閱讀頁
2024-09-12 21:54本頁面
【正文】 得它在該區(qū)間上的最小值。 偏導(dǎo)數(shù)及全微分： 多元函數(shù)的概念：設(shè) D是平面上的一個點集，如果對于每個點 P(x,y)∈D 變量 z 按照一定的法則總有確定的值和它對 應(yīng)，則稱 z 是變量 x,y的二元函數(shù)，記為 z=f(x,y)點集 D稱為該函數(shù)的定義域， x,y稱為自變量， z 稱為因變量。 ：若函數(shù) z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù) fx(x,y)及 fy(x,y)存在，則稱它們?yōu)?f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以 上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。 ACB20時，沒有極值。 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) z=f(x,y)極值的求法敘述如下： 第一步：解方程組， fx(x,y)=0 f(x,y) =0 求得一切實數(shù)解，即可求得一切駐點。 第三步：定出 ACB2的符號，按上述定理的結(jié)論判定 f(x,y)時否有極值，是極大值還是極小值。 第四講 不定積分、定積分、廣義積分的的概念及計算 一、內(nèi)容提要： 本講主要是講解不定積分的概念與性質(zhì)，不定積分的換元積分法和分部積分法，定積分的概念與性質(zhì)， 定積分的換元積分法和分部積分法，無窮限的廣義積分和無界函數(shù)的廣義積分。 難點：本講的難點是廣義積分的計算。 原函數(shù)存在的定理：如果函數(shù) f(x)在區(qū)間 I 內(nèi)連續(xù)，那末在區(qū)間 I內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù) F(x)，使對任一 x∈I都有 F’(x)=f(x) 。 二、重點：本講的重點是二重積分的計算，平面曲線積分，定積分的應(yīng)用問題。 三、內(nèi)容講解： 重積分： 1 二重積分的概念：設(shè) f(x,y)是有界閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域 D任意分成 n 個小閉區(qū)域， 其中 表示第 I 個小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個 上任取一點（ ξi,ηi ），作乘積 f（ ξi,ηi ） （ i=1,2,? ， n），并作和 如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中最大值 λ 趨于零時，這和的極限存在，則稱此極限為函數(shù) f(x,y)在閉區(qū)域 D上的二重積分，記作 ,其中 f(x,y)叫做被積函數(shù) 叫做被積表達式， 叫做面積元素， x與 y 叫做積分變量， D叫做積分區(qū)域， 叫做積分和。 二重積分的幾何意義：二重積分 在幾何上表示以曲面 z=f(x,y)為頂，閉區(qū)域 D 為底的曲頂柱體的體積。下面我們講一下重積分的性質(zhì)。三重積分的幾何意義表示物體質(zhì)量 M 的近似值。 （ 1） 利用直角坐標計算二重積分： 設(shè)積分區(qū)域 D可以用不等式 ≤y≤ ,a≤x≤b 來表示，則 這個先對 y后對 x的二次積分也常記作 類似地，如果積分區(qū)域 D可以用不等式 ≤y≤ ， c≤y≤d 來表示，其中函數(shù) 、 在區(qū)產(chǎn) [c,d]上連續(xù)，則有 上式右端的積分叫做先對 x、后對 y 的二次積分，這個積分也記作 (2) 利用極坐標計算二重積分： 直角坐標與極坐標的關(guān)系是 x=rcosθ ， y=rsinθ （ 0≤r≤+∞, 0≤θ≤2л ） 設(shè) D={（ r, θ ） | ≤r≤ ,α≤θ≤β} 則 = 特別（ i） D={（ r, θ ）|0≤r≤ ,α≤θ≤β} 則有 = （ ii）D由閉曲線 r=r(θ) 所圍成，則 = 例 計算 其中 D 是由中心在原點、半徑為 a的圓周所圍成的閉區(qū)域。 解： ={（ x,y,z） |0≤z≤1 y,(x,y)∈D,} 其中 D={(x,y)|x2≤y≤1, 1≤x≤1} I= （ 2） 利用柱面坐標計算三重積分： 直角坐標系與柱面坐標的關(guān)系是： x=rcosθ,y=rsinθ,z=z （ 0≤r≤+∞, 0≤θ≤2л, ∞≤z≤+∞ ）設(shè) ={(r, θ,z)| (r, θ) ≤z≤ (r, θ), (r, θ) ∈D}, 其中D={( r, θ)|r1(θ)≤r,≤r2(θ),α ≤θ≤β} 則 例 利用柱面坐標計算： I= 其中 是由 z=1,z=1 ,x2+y2z2=1 所圍成的區(qū)域。如下圖所示： 例 設(shè)空間區(qū)域 :x2+y2+z2≤R2 ， x≥0, y≥0 ， z≥0, 則求 解： 0≤ ≤л/2 ， 0≤r≤R,0≤θ≤л/2 ，則 = = 平面曲線積分： 2. 1對弧長的曲線積分的概念、性質(zhì)及其計算問題。 當(dāng) f(x,y)在光滑曲線弧 L上連續(xù)時 = 總存在，當(dāng) L為閉曲線時，曲線積分可記為 ，特殊地，當(dāng) f(x,y)表示曲線形構(gòu)件的線密度時， 就表示該構(gòu)件的質(zhì)量 M。 解： 、性質(zhì)及計算： 概念：設(shè) L 為 xoy 面內(nèi)從點 A 到點 B 的一條有向光滑曲線弧，函數(shù) P(x,y)、 Q(x,y)在 L 上有界，用 L 上的點 M1(x1,y1)， M2(x2,y2)?M n1(xn1,yn1)把 L分成 n個有向小弧段， (i =1,2,?n ， M0=A， Mn=B)設(shè)xi=xixi1, yi=yi=yi1，點（ ξi,ηi ）為 上任意取定的點，如果當(dāng)各小弧段長度的最大值λ→0 時， 的極限存在，則稱此極限為函數(shù) P(x,y)在有向曲線 L上對坐標 x的曲線積分或P(x,y)dx 在有向曲線弧 L上的第二類曲線積分，記作 。 兩類曲線積分之間的聯(lián)系： = 其中 （ x,y）、 （ x,y）為有向曲線弧 L上點（ x,y）處的切線向量的方向角。 解： 積分的應(yīng)用： 3. 1定積分的應(yīng)用：定積分的應(yīng)用一般表現(xiàn)在以下幾個方面， （ 1） 求平面圖 形的面積： 若平面圖形由曲線 y=f1(x) y=f2(x)和直線 x=a,x=b 所圍成，則其面積 A= 若平面圖形由曲線 r= ,r= ，及射線 所圍成， 則其面積 A= 例 計算由兩條拋物線： y2=x、 y=x2所圍成的圖形的面積。 解：這個旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個橢圓 及 x軸所圍成的圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體。 解：現(xiàn)在 y’=x1/ 2,從而弧長元素 ds= 根據(jù)公式有：s= (1)求曲面的面積：設(shè)曲面 S由方程 z=f(x,y)給出 D為曲面 S在 xoy 面上的投影區(qū)域，函數(shù) f(x,y)在 D上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則曲面 S的面積為 例 1 求球面 x2+y2+z2=25 被平面 z=3 所分成的上半部分曲面的面積。 解：取坐標系如下圖所示， Ix= 其中 M=
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