太原中考數(shù)學(xué)壓軸題專題二次函數(shù)的經(jīng)典綜合題-閱讀頁
2025-04-02 00:25本頁面
【正文】 ∴N應(yīng)與原點重合，Q點與C點重合，∴DQ＝DC，把x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x+3，解得y＝4，∴D(﹣1，4)，∴DQ＝DC＝．∵FG＝2DQ，∴FG＝4．設(shè)F(n，﹣n2﹣2n+3)，則G(n，n+3)，∵點G在點F的上方且FG＝4，∴(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)＝4．解得n＝﹣4或n＝1，∴F(﹣4，﹣5)或(1，0)．【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點的求法，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)極值的確定，解本題的關(guān)鍵是用m表示出矩形PMNQ的周長．2．如圖，已知A（﹣2，0），B（4，0），拋物線y=ax2+bx﹣1過A、B兩點，并與過A點的直線y=﹣x﹣1交于點C．（1）求拋物線解析式及對稱軸；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使四邊形ACPO的周長最??？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）點M為y軸右側(cè)拋物線上一點，過點M作直線AC的垂線，垂足為N．問：是否存在這樣的點N，使以點M、N、C為頂點的三角形與△AOC相似，若存在，求出點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線解析式為：y=，拋物線對稱軸為直線x=1；（2）存在P點坐標(biāo)為（1，﹣）；（3）N點坐標(biāo)為（4，﹣3）或（2，﹣1）【解析】分析：（1）由待定系數(shù)法求解即可；（2）將四邊形周長最小轉(zhuǎn)化為PC+PO最小即可；（3）利用相似三角形對應(yīng)點進行分類討論，構(gòu)造圖形．設(shè)出點N坐標(biāo)，表示點M坐標(biāo)代入拋物線解析式即可．詳解：（1）把A（2，0），B（4，0）代入拋物線y=ax2+bx1，得 解得 ∴拋物線解析式為：y=x2?x?1∴拋物線對稱軸為直線x=＝1（2）存在使四邊形ACPO的周長最小，只需PC+PO最小∴取點C（0，1）關(guān)于直線x=1的對稱點C′（2，1），連C′O與直線x=1的交點即為P點．設(shè)過點C′、O直線解析式為：y=kx∴k=∴y=x則P點坐標(biāo)為（1，）（3）當(dāng)△AOC∽△MNC時，如圖，延長MN交y軸于點D，過點N作NE⊥y軸于點E∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90176?！唷螩DN=∠CAO由相似，∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵MN⊥AC∴M、D關(guān)于AN對稱，則N為DM中點設(shè)點N坐標(biāo)為（a，a1）由△EDN∽△OAC∴ED=2a∴點D坐標(biāo)為（0，a?1）∵N為DM中點∴點M坐標(biāo)為（2a，a?1）把M代入y=x2?x?1，解得a=4則N點坐標(biāo)為（4，3）當(dāng)△AOC∽△CNM時，∠CAO=∠NCM∴CM∥AB則點C關(guān)于直線x=1的對稱點C′即為點N由（2）N（2，1）∴N點坐標(biāo)為（4，3）或（2，1）點睛：本題為代數(shù)幾何綜合題，考查了待定系數(shù)、兩點之間線段最短的數(shù)學(xué)模型構(gòu)造、三角形相似．解答時，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想．3．拋物線（b，c為常數(shù)）與x軸交于點和，與y軸交于點A，點E為拋物線頂點。【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）將（1，0），（3，0）代入拋物線的解析式求得b、c的值，確定解析式，從而求出拋物線與y軸交于點A的坐標(biāo)，運用配方求出頂點E的坐標(biāo)即可；（Ⅱ）先運用配方求出頂點E的坐標(biāo)，再根據(jù)頂點E在直線上得出吧b與c的關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出當(dāng)b=1時，點A位置最高，從而確定拋物線的解析式；（Ⅲ）根據(jù)拋物線經(jīng)過（1，0）得出c=b+1，再根據(jù)（Ⅱ）中頂點E的坐標(biāo)得出E點關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)，然后根據(jù)A、P兩點坐標(biāo)求出直線AP的解析式，再根據(jù)點在直線AP上，此時值最小，從而求出b的值.【詳解】解：（Ⅰ）把點和代入函數(shù)，有。舍去.【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次的解析式、最短距離，數(shù)形結(jié)合思想及待定系數(shù)法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中考壓軸題．4．在平面直角坐標(biāo)系中，為原點，拋物線經(jīng)過點，對稱軸為直線，交軸于點.（Ⅰ）求該拋物線的解析式及對稱軸；（Ⅱ）點在軸上，當(dāng)?shù)闹底钚r，求點的坐標(biāo)；（Ⅲ）拋物線上是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（Ⅰ）拋物線的解析式為。（Ⅱ）點坐標(biāo)為。對角線AC，BD相交于點O，動點P從點A出發(fā)，以4cm/s的速度，沿A→B的路線向點B運動；過點P作PQ∥BD，與AC相交于點Q，設(shè)運動時間為t秒，0＜t＜5．（1）設(shè)四邊形PQCB的面積為S，求S與t的關(guān)系式；（2）若點Q關(guān)于O的對稱點為M，過點P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點N，當(dāng)t為何值時，點P、M、N在一直線上？（3）直線PN與AC相交于H點，連接PM，NM，是否存在某一時刻t，使得直線PN平分四邊形APMN的面積？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1) S=﹣2（0＜t＜5）； (2) 。AC⊥BD，∴∠OAB=30176。依據(jù)AE為∠BAC的角平分線可求得∠DAO=30176。．∵AE為∠BAC的平分線，∴∠DAO=30176。∠AGM=90176。1，∵A（﹣1，0），∴B（1，0）；∵x=0時，y=，∴頂點P的坐標(biāo)為（0，），以PA，CQ為邊的平行四邊形，PA、CQ是對邊，∴PA∥CQ，PA=CQ，∴存在兩種情況：①如圖1所示：作QM⊥AC于M，則QM=OP=，∠QMC=90176。C（，）【解析】分析：（1）將已知點坐標(biāo)代入y=ax2+bx，求出a、b的值即可；（2）利用拋物線增減性可解問題；（3）觀察圖形，點A，點B到直線OC的距離之和小于等于AB；同時用點A（1，），點B（3，﹣）求出相關(guān)角度．詳解：（1）把點A（1，），點B（3，﹣）分別代入y=ax2+bx得 ，解得∴y=﹣（2）由（1）拋物線開口向下，對稱軸為直線x=，當(dāng)x＞時，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)t＞4時，n＜m．（3）如圖，設(shè)拋物線交x軸于點F，分別過點A、B作AD⊥OC于點D，BE⊥OC于點E∵AC≥AD，BC≥BE，∴AD+BE≤AC+BE=AB，∴當(dāng)OC⊥AB時，點A，點B到直線OC的距離之和最大．∵A（1，），點B（3，﹣），∴∠AOF=60176?！唷螦OB=90176。．當(dāng)OC⊥AB時，∠BOC=6017
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