蘇教版選修2-2高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明章末測(cè)試-在線瀏覽
2025-02-07 09:28本頁(yè)面
【正文】 _______”． 解析 由類比推理可得． 答案 若 {bn}是等比數(shù)列， b1＝ 1， s， t是互不相等的正整數(shù)，則有 bs－ 1t ＝ bt－ 1s 12．已知 f(1,1)＝ 1， f(m， n)? N*(m， n? N*)，且對(duì)任意 m， n? N*都有： ① f(m， n＋ 1)＝ f(m， n)＋ 2； ② f(m＋ 1,1)＝ 2f(m,1)．給出以下三個(gè)結(jié)論： (1)f(1,5)＝ 9； (2)f(5,1)＝ 16； (3)f(5,6)＝ ________． 解析 f(1,5)＝ f(1,4)＋ 2＝ f(1,3)＋ 4＝ f(1,2)＋ 6＝ f(1,1)＋ 8＝ 9； f(5,1)＝ 2f(4,1)＝ 4f(3,1)＝ 8f(2,1)＝ 16f(1,1)＝ 16； f(5,6)＝ f(5,5)＋ 2＝ f(5,4)＋ 4＝ f(5,3)＋ 6＝ f(5,2)＋ 8＝ f(5,1)＋ 10＝ 26. 所以這 3個(gè)結(jié)論都正確． 答案 3 13．凸函數(shù)的性質(zhì)定理為：如果函數(shù) f(x)在區(qū)間 D上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間 D內(nèi)的任意 x1， x2， ? ， xn，有 f?x1?＋ f?x2?＋ ? ＋ f?xn?n ≤ f?? ??x1＋ x2＋ ? ＋ xnn ，若函數(shù) y＝ sin x在區(qū)間 (0， π)上是凸函數(shù)，則在 △ ABC中， sin A＋ sin B＋ sin C的最大值為 ________． 解析 根據(jù)凸函數(shù)的性質(zhì)定理，可得 sin A＋ sin B＋ sin C≤ 3sin?? ??A＋ B＋ C3 ＝ 3 32 ， 即 sin A＋ sin B＋ sin C的最大值為 3 32 . 答案 3 32 14． (202113≤a＋ 132 ， b13≤c＋ 132 ， 三式相加得 a3＋ b3＋ c3≤ 12(a＋ b＋ c)＋ 12＝ 1. ∴ a＋ b＋ c≤ 3. 16． (本小題滿分 14 分 )設(shè) a， b， c均為奇數(shù)，求證：方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 無(wú)整數(shù)根． 證明 假設(shè)方程有整數(shù)根 x＝ x0， ∴ ax20＋ bx0＋ c＝ 0， ∴ c＝－ (ax20＋ bx0)． 若 x0是偶數(shù)，則 ax20， bx0是偶數(shù)， ax20＋ bx0是偶數(shù)，從而 c是偶數(shù)，與題設(shè)矛盾； 若 x0是奇數(shù)，則 ax20， bx0是奇數(shù)， ax20＋ bx0是偶數(shù)，從而 c是偶數(shù)，與題設(shè)矛盾． 綜上所述，方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 沒(méi)有整數(shù)根． 17． (本小題滿分 14 分 )在數(shù)列 {an}中， a1＝－ 23， an＝ Sn＋ 1Sn＋ 2(n≥ 2， n? N*)． (1)求 S1， S2， S3； (2)猜想 Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想． 解 (1)∵ n≥ 2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ Sn＋ 1Sn＋ 2， ∴ Sn－ 1＋ 1Sn＋ 2＝ 0(n≥ 2)， Sn＝－ 1Sn－ 1＋ 2(n≥ 2)， S1＝ a1＝－ 23， S2＝－ 1S1＋ 2＝－ 34， S3＝－ 1S2＋ 2 ＝－ 45. (2)猜想 Sn＝－ n＋ 1n＋ 2(n? N*)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
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