人教a版高中數(shù)學必修二421直線與圓的位置關系2word教案-在線瀏覽
2025-02-05 04:57本頁面
【正文】 求 . （三） 應用示例 思路 1 例 1 過點 P(2,0)向圓 x2+y2=1 引切線 ,求切線的方程 . 圖 3 解 :如圖 3,方法一 :設所求切線的斜率為 k, 則切線方程為 y=k(x+2),因此由方程組????? ?? ?? ,1),2(22 yxxky 得 x2+k2(x+2)2=1. 上述 一元二次方程有一個實根 , Δ=16k44(k2+1)(4k21)=12k24=0,k=177。33 (x+2). 方法二 :設所求切線的斜率為 k,則切線方程為 y=k(x+2),由于圓心到切線的距離等于圓的半徑 (d=r),所以 d=21|2| kk? =1,解得 k=177。33 (x+2). 方法三：利用過圓上一點的切線的結論 .可假設切點為 (x0,y0),此時可求得切線方程為x0x+y0y=1. 然后利用點 (2,0)在切線上得到 2x0=1,從中解得 x0=21 . 再由點 (x0,y0)在圓上 ,所以滿足 x02+y02=1,既 41 +y02=1,解出 y0=177。33 (x+2). 點評 :過圓外一點向圓可作兩條切線；可用三種方法求出切線方程 ,其中以幾何法 “d=r”比較好 (簡便 ). 變式訓練 已知直線 l的斜率為 k,且與圓 x2+y2=r2只有一個公共點 ,求直線 l的方程 . 活動： 學生思考 ,觀察題目的特點 ,見題想法 ,教師引導學生考慮問題的思路 ,必要時給予提 示 ,直線與圓只有一個公共點 ,說明直線與圓相切 .可利用圓的幾何性質求解 . 圖 4 解 :如圖 4,方法一 :設所求的直線方程為 y=kx+b,由圓心到直線的距離等于圓的半徑 ,得 d=21|| kb? =r,∴ b=177。r 21 k? . 方法二 :設所求的直線方程為 y=kx+b,直線 l與圓 x2+y2=r2只有一個公共點 ,所以它們組成的方程組只有一組實數(shù)解 ,由????? ?? ??222,ryxbkxy ,得 x2+k2(x+b)2=1,即 x2(k2+1)+2k2bx+b2=1,Δ=0得b=177。r 21 k? . 例 2 已知圓的方程為 x2+y2+ax+2y+a2=0,一定點為 A(1,2),要使過定點 A(1,2)作圓的切線有兩條 ,求 a 的取值范圍 . 活動： 學生討論 ,教師指導 ,教師提問 ,學生回答 ,教師對學生解題中出現(xiàn)的問題及時處理 ,利用幾何方法 ,點 A(1,2)在圓外 ,即到圓心的距離大于圓的半徑 . 解 :將圓的方程配方得 (x+ 2a )2+(y+1)2= 434 2a? ,圓心 C 的坐標為 (－ 2a ,－ 1),半徑r=4342a? , 條件是 4－ 3a2＞ 0,過點 A(1,2)所作圓的切線有兩條 ,則點 A必在圓外 , 即 22 )12()21( ??? a ＞ 434 2a? . 化簡 ,得 a2+a+9＞ 0,由??????????,034,0922aaa 解得－ 332 ＜ a＜ 332 ,a∈ R. 所以－ 332 ＜ a＜ 332 . 故 a 的取值范圍是 (－ 332 , 332 ). 點評 :過圓外一點可作圓的兩條切線 ,反之經(jīng)過一點可作圓的兩條切線 ,則該點在圓外 .同時注意圓的一般方程的條件 . 思路 2 例 1 已知過點 M(3,3)的直線 l被圓 x2+y2+4y21=0 所截得的弦長為 45,求直線 l的方程 . 活動： 學生思考或討論 ,教師引導學生考慮問題的思路 ,求直線 l 的方程 ,一般設點斜式 ,再求斜率 .這里知道 弦長 ,半徑也知道 ,所以弦心距可求 ,如果設出直線的方程 ,由點到直線的距離等于弦心距求出斜率；另外也可利用弦長公式 ,結合一元二次方程根與系數(shù)的關系求解 . 解法一： 將圓的方
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