人教a版高中數(shù)學(xué)必修二421直線與圓的位置關(guān)系2word教案-免費閱讀
【正文】 22)1( yx ?? , 整 理 得 x2+y2 － 6x+1=0. ① 因為點 N 到 PM的距離為 1,|MN|=2,所以 ∠ PMN=30176。 (4)若定點 P(1,1)分弦 AB 為PBAP=21,求此時直線 l的方程 . 解 :(1)判斷圓心到直線的距離小于半徑即可 ,或用直線系過定點 P(1,1)求解 。r 21 k? . 方法二 :設(shè)所求的直線方程為 y=kx+b,直線 l與圓 x2+y2=r2只有一個公共點 ,所以它們組成的方程組只有一組實數(shù)解 ,由????? ?? ??222,ryxbkxy ,得 x2+k2(x+b)2=1,即 x2(k2+1)+2k2bx+b2=1,Δ=0得b=177。再就是利用弦心距、弦長、半徑之間的關(guān)系來求 . （三） 應(yīng)用示例 思路 1 例 1 過點 P(2,0)向圓 x2+y2=1 引切線 ,求切線的方程 . 圖 3 解 :如圖 3,方法一 :設(shè)所求切線的斜率為 k, 則切線方程為 y=k(x+2),因此由方程組????? ?? ?? ,1),2(22 yxxky 得 x2+k2(x+2)2=1. 上述 一元二次方程有一個實根 , Δ=16k44(k2+1)(4k21)=12k24=0,k=177。33 , 所以所求切線的方程為 y=177。r 21 k? ,求得切線方程是 y=kx177。點 P(1,1)在圓內(nèi) . (2)利用弦心距、半徑、弦構(gòu)成的直角三角形求弦長 ,得 m=177。,直線 PM 的斜率為 177。33 . 點評： 在涉及到直線被圓截得的弦長時 ,要巧妙利用圓的有關(guān)幾何性質(zhì) ,如本題中的Rt△ BOC,其中 |OB|為圓半徑 ,|BC|為弦長的一半 . 變式訓(xùn)練 已知 x,y 滿足 x2+y22x+4y=0,求 x2y 的最大值 . 活動 :學(xué)生審題 ,再思考討論 ,從表面上看 ,此問題是一個代數(shù) ,可用代數(shù)方法來解決 .但細想后會發(fā)現(xiàn)比較復(fù)雜 ,它需把二次降為一次 .教師提示學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合或判別式法 . 解法一 :(幾何解法 )：設(shè) x2y=b,則點 (x,y)既在直線 x2y=b 上 ,又在圓 x2+y22x+4y=0 上 ,即直線 x2y=b 和圓 x2+y22x+4y=0 有交點 ,故圓心 (1,2)到直線的距離小于或等于半徑 , 所以5|5| b?≤ 5 .所以 0≤b≤10,即 b 的最大值是 10. 解法二 :(代數(shù)解法 )：設(shè) x2y=b,代入方程 x2+y22x+4y=0,得 (2y+b)2+y22(2y+b)+4y=0,即5y2+4by+b22b= ,所以其判別式 Δ=16b220(b22b)=40b4b2≥0,即b210b≤0,0≤b≤ b 的最大值是 10. 點評 :比較兩個解法 ,我們可以看到 ,數(shù)形結(jié)合的方法難想但簡單 ,代數(shù)法易想但較繁 ,要多練習(xí)以抓住規(guī)律 . 例 3 已知圓 C： (x－ 1)2＋ (y－ 2)2=25,直線 l： (2m+1)x+(m+1)y－ 7m－ 4=0(m∈ R). (1)證明不論 m 取什么實數(shù) ,直線 l與圓恒交于兩點； (2)求直線被圓 C 截得的弦長最小時 l的方程 . 活動： 學(xué)生先思考 ,然后討論 ,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的方法 ,由于直線過定點 ,如果該定點在圓內(nèi) ,此題便可解得 .最短的弦就是與過定點與此直徑垂直的弦 . 解 :(1)證明： 因為 l 的方程為 (x+y－ 4)+m(2x+y－ 7)= m∈ R,所以??? ??? ??? .04 ,072 yx yx,解得??? ??,1,3yx即 l恒過定點 A(3,1).因為圓心 C(1,2),｜ AC｜ = 5 ＜ 5(半徑 ),所以點
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