山東省煙臺市20xx年高考數(shù)學(xué)一模試卷文科word版含解析-在線瀏覽
2025-02-02 04:23本頁面
【正文】 案為 ③ ． 【點(diǎn)評】 本題考查了新定義的理解，函數(shù)恒成立問題的研究，方程根的存在性判斷，屬于中檔題． 三、解答題：本大題共 6 個(gè)小題，共 75 分． 16．（ 12 分）（ 2017?煙臺一模）已知函數(shù) ． （ 1）求 f（ x）單調(diào)遞減區(qū)間； （ 2）已知 a， b， c 分別為 △ ABC 內(nèi)角， A， B， C 的對邊，是 f（ x）在（ 0， π）上的最大值，求 △ ABC 的面積． 【考點(diǎn)】 三角形中的幾何計(jì)算；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象． 【分析】 （ 1）由三角函數(shù)公式化簡可得 f（ x） =sin（ 2x﹣ ），解不等式 2kπ+≤ 2x﹣ ≤ 2kπ+ 可可得單調(diào)減區(qū)間； （ 2）由題意可得 A= ，由余弦定理可得 b=2，代值計(jì)算可． 【解答】 解：（ 1）化簡可得 f（ x） =sin2x+ sinxcosx﹣ ． = （ 1﹣ cos2x） + sin2x﹣ = sin2x﹣ cos2x =sin（ 2x﹣ ）， 由 2kπ+ ≤ 2x﹣ ≤ 2kπ+ 可得 kπ+ ≤ x≤ kπ+ ， ∴ f（ x）的單調(diào)減區(qū)間為 [kπ+ ， kπ+ ]（ k∈ Z）； （ 2）由（ 1）知 f（ x） =sin（ 2x﹣ ）， 當(dāng) x∈ （ 0， π）時(shí)，﹣ ＜ 2x﹣ ＜ ， 結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，當(dāng) 2x﹣ = ，即 x= 時(shí)， f（ x）取得最大值， ∵ f（ A）是 f（ x）在（ 0， π）上的最大值， ∴ A= ， 在 △ ABC 中，由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣ 2bccosA， 即 12=b2+16﹣ 2 4b ， 解得 b=2， ∴△ ABC 的面積 S= bcsinA= 2 4sin =2 ． 【點(diǎn)評】 本題考查解三角形，涉及兩角和與差的三角函數(shù)公式余弦定理以及三角形的面積，屬中檔題． 17．（ 12 分）（ 2017?煙臺一模）如圖，已知四邊形 ABCD 和 ABEG 均為平行四邊形，點(diǎn) E 在平面 ABCD 內(nèi)的射影恰好為點(diǎn) A，以 BD 為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn) A， C，AG 的中點(diǎn)為 F， CD 的中點(diǎn)為 P，且 AD=AB=AE=2 （ Ⅰ ）求證：平面 EFP⊥ 平面 BCE （ Ⅱ ）求幾何體 ADC﹣ BCE 的體積． 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定． 【分析】 （ Ⅰ ）由點(diǎn) E 在平面 ABCD 內(nèi)的射影恰為 A，可得 AE⊥ 平面 ABCD，進(jìn)一步得到平面 ABCD⊥ 平面 ABEG，又以 BD 為直徑的圓經(jīng)過 A， C， AD=AB，可得 BCD 為正方形，再由線面垂直的性質(zhì)可得 BC⊥ 平面 ABEG，從而得到 EF⊥ BC，結(jié)合 AB=AE=GE，可得 ∠ ABE=∠ AEB= ，從而得到 ∠ AEF+∠ AEB= ，有 EF⊥ BE．再由線面垂直的判定可得 EF⊥ 平面 BCE，即平面 EFP⊥ 平面 BCE； （ Ⅱ ）解：連接 DE，由（ Ⅰ ）知， AE⊥ 平面 ABCD，則 AE⊥ AD，又 AB⊥ AD，則 AB⊥ 平面 ADE，得到 GE⊥ 平面 ADE．然后利用等積法求幾何體 ADC﹣ BCE的體積． 【解答】 （ Ⅰ ）證明： ∵ 點(diǎn) E 在平面 ABCD 內(nèi)的射影恰為 A， ∴ AE⊥ 平面 ABCD， 又 AE? 平面 ABEG， ∴ 平面 ABCD⊥ 平面 ABEG， 又以 BD 為直徑的圓經(jīng)過 A， C， AD=AB， ∴ ABCD 為正方形， 又平面 ABCD∩ 平面 ABEG=AB， ∴ BC⊥ 平面 ABEG， ∵ EF?平面 ABEG， ∴ EF⊥ BC， 又 AB=AE=GE， ∴∠ ABE=∠ AEB= ， 又 AG 的中點(diǎn)為 F， ∴∠ AEF= ． ∵∠ AEF+∠ AEB= ， ∴ EF⊥ BE． 又 BE? 平面 BCE， BC?平面 BCE， BC∩ BE=B， ∴ EF⊥ 平面 BCE， 又 EF?平面 EFP， ∴ 平面 EFP⊥ 平面 BCE； （ Ⅱ ）解：連接 DE，由（ Ⅰ ）知， AE⊥ 平面 ABCD， ∴ AE⊥ AD，又 AB⊥ AD， AE∩ AD=A， ∴ AB⊥ 平面 ADE，又 AB∥ GE， ∴ GE⊥ 平面 ADE． ∴ VADC﹣ BCE= = ． ∴ 幾何體 ADC﹣ BCE 的體積為 4． 【點(diǎn)評】 本題主要考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系以及體積的求法，考查運(yùn)算求解能力及空間想象能力，是中檔題． 18．（ 12 分 ）（ 2017?煙臺一模）某單位為了解甲、乙兩部門對本單位職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問 50 名職工．已知 50 名職工對甲、乙兩部門的評分都在區(qū)間 [50，100]內(nèi)，根據(jù) 50 名職工對甲部門的評分繪制的頻率分布直方圖，以及根據(jù) 50名職工對乙部門評分中落在 [50， 60）， [60， 70）內(nèi)的所有數(shù)據(jù)繪制的莖葉圖，如圖所示． （ 1）求頻率分布直方圖中 x 的值； （ 2）若得分在 70 分及以上為滿意，試比較甲、乙兩部門服務(wù)情況的滿意度； （ 3）在乙部門得分為 [50， 60）， [60， 70）的樣本數(shù)據(jù)中，任意抽取兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)，求至少有一個(gè) 樣本數(shù)據(jù)落在 [50， 60）內(nèi)的概率． 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖． 【分析】 （ 1）根據(jù)概率之和是 1，求出 x 的值即可； （ 2）分別求出甲、乙兩部門服務(wù)情況的滿意度，比較即可； （ 3）求出隨機(jī)抽取兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)的所有基本事件，再求出至少有 1 個(gè)樣本數(shù)據(jù)羅在 [50， 60）內(nèi)的基本事件，求出滿足條件的概率即可． 【解答】 解：（ 1）由題意得：可知 10x+ 10+ 10+ 10+ 10=1， 解得： x=； （ 2）甲部門服務(wù)情況的滿意度為 ： 10+ 10+ 10=， 乙部門服務(wù)情況的滿意度為： 1﹣ =， ∴ 乙部門服務(wù)情況的滿意度較高； （ 3）由題意，設(shè)乙部門得分為 [50， 60）， [60， 70）的 6 個(gè)樣本數(shù)據(jù)從小到大依次為： A1， A2， B1， B2， B3， B4， 則隨機(jī)抽取兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)的所有基本事件有： {A1， A2}， {A1， B1}， {A1， B2}， {A1， B3}， {A1， B4}， {A2， B1}， {A2， B2}， {A2， B3}， {A2， B4}， {B1， B2}， {B1， B3}， {B1， B4}， {B2， B3}， {B2， B4}， {B3， B4}， 共 15 個(gè)； 其中 “至少有 1 個(gè)樣本數(shù)據(jù)落在 [50， 60）內(nèi) ”包含： {A1， A2}， {
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