北京市通州區(qū)20xx屆高三數(shù)學(xué)理一?？荚囋囶}-在線瀏覽
2025-01-29 20:53本頁面
【正文】 03002001000202120212021202120212021因?yàn)?PA PD? ， 所以 .OP AD? 因?yàn)?平面 PAD? 平面 ABCD ,OP? 平面 PAD ， 所以 OP? 平面 .ABCD ???????? 5分 以 點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 直線 OD ， OP 為 y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz ，則 x 軸在 平面 ABCD 內(nèi) ． 因?yàn)?90APD? ? ? ， 2AB AD? ?? ， 1PQ CD??， 所以 ? ?,A ?0 10 ， ? ?,B ?2 10 ， ? ?,C110 ， ? ?,Q101 ， 所以 ? ?1,1,1BQ?? ， ? ?0, 1,1CQ??. ???????? 7分 設(shè)平面 QBC 的法向量為 ? ?,n x y z? ，所以 ,n BQn CQ? ????????00 即 ,.x y zyz? ? ? ???? ? ?? 00 所以 ,.x y zyz???? ?? 令 1z? ，則 1y? ， 2x? . 所以 ? ?2,1,1n? . ???????? 8分 設(shè)平面 ABCD 的法向量為 ? ?0,0,1m? ，所以 16c o s , .661nm ??? 又 因?yàn)?二面角 Q BC A??為銳角， 所以 二面角 Q BC A??的余弦值 是 ???????? 10分 （Ⅲ） 存在 . 設(shè)點(diǎn) ? ?,M abc ， QMQB ??， ? ?01.?? , 所以 ? ?1, , 1QM a b c? ? ?， ? ?1, 1, 1 .QB ? ? ? 所以 +1a ?? ， b ??? ， +1c ??? . 所以 點(diǎn) ? ?, , .M ? ? ?? ? ? ?11 所以 ? ?, , .AM ???? ? ? ? ? ?111 又 平面 QBC 的法向量為 ? ?2,1,1n? ， AM? 平面 QBC ， 所以 .??? ? ??1121 所以 .??13 所以 在線段 QB 上存在點(diǎn) M ，使 AM? 平面 QBC ， 且 QMQB的值 是 .13 ????? 14分 18. 解： （Ⅰ） 設(shè)函數(shù) ? ? ? ?( ) .xxF x f x g x x e ae a? ? ? ? ? 當(dāng) 1?a 時(shí)， ( ) 1xxF x xe e? ? ?，所以 39。( ) 0Fx? ； )0( ??? ，x 時(shí)， 39。( ) ( 1) xF x x a e? ? ?， 令 39。( ) 0Fx? ，即 ( 1) 0xx a e? ? ? ，解得 ?? 所以 ()Fx在 ( 1)a?? ?， 上單調(diào)遞減，在 ( 1 )a? ??， 上單調(diào)遞增 . 所以當(dāng) 1??ax 時(shí)， ()Fx取得極小值，即 1( 1) aF a a e ?? ? ? . ???????? 6分 令 1() ah a a e ??? ，則 139。( ) 0ha? . 所以 ()ha 在 (1, )?? 上單調(diào)遞減 . 所以 ( ) (1) 0h a h??. 所以 ( 1) 0Fa??. 又因?yàn)?( ) 0F a a??，所以 ()Fx在區(qū)間 ),1( aa? 上存在一個(gè)零點(diǎn) . 所以在 ),1[ ???a 上存在唯一的零點(diǎn) . ???????? 10分 又因?yàn)?()Fx在區(qū)間 )1,( ???a 上單調(diào)遞減，且 (0) 0F ? ， 所以 ()Fx在區(qū)間 )1,( ???a 上存在唯一的零點(diǎn) 0 . ???????? 12分 所以函數(shù) )(xh 有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，即 使 )()( xgxf ? 成立的 x 的個(gè)數(shù)是兩個(gè) . ???????? 13分 19. 解： （Ⅰ） 因?yàn)?橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上， 2AB? ，離心率 32e?， 所以 1b? ， ? 所以由 2 2 2a b c??，得 2 ? 所以橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程是 2 2 y?? ???????? 3分 （Ⅱ） 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ? ?00,xy，所以 Q 的坐標(biāo)為 ? ?00,xy? . 因?yàn)?M ， N 分別是 OP ， BP 的中點(diǎn) ， 所以 M 點(diǎn)的坐標(biāo)為 00,22xy??????， N 點(diǎn) 的坐標(biāo)為 001,22xy???????. ???????? 4分 所以直線 AD 的方程為 002 1yyxx???
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