帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題例析-在線瀏覽
2025-01-26 13:22本頁面
【正文】 】 在 OM 上取不同點為圓心、以圓心和 A 點連線長度為半徑 由小到大作出一系列圓 （如圖乙），其中軌跡 ① 對應(yīng)半徑最小，而軌跡 ② 對應(yīng)粒子是 O1 點上方軌道半徑最大的，由圖可知其對應(yīng)圓心角也最大。 【答案】 （ 1） v＝ 22qBlm ， （ 2） 3π2mt qB? 【解答】 （ 1）粒子在磁場中運動，洛倫茲力提供向心力，設(shè)粒子的速度大小為 v 時，其在磁場中的運動半徑為 R，則由牛頓第二定律有： qvB＝ m 2vR 若粒子以最小的速度到達(dá) P 點時，其軌跡一定是以 AP 為直徑的圓（如圖 x O2 O1 O1 ① ② 圖甲 圖乙 M M 中圓 O1所示）由幾何關(guān)系知： sAP= 2l R＝ 222APs l? 則粒子的最小速度 v＝ 22qBlm （ 2）粒子在磁場中的運動周期 T＝ 2π 2πRmv qB? 設(shè)粒子在磁場中運動時其軌跡所對應(yīng)的圓心角為 θ，則粒子在磁場中的運動時間為：2π mtTqB???? 由圖可知，在磁場中運動時間最長的粒子的運動軌跡如圖中圓 O2所示，此時粒子的初速度方向豎直向上，則由幾何關(guān)系有： 3π2?? 則粒子在磁場中運動的最長時間： 3π2mt qB? 【 解后反思 】 注意作好入射點和出射點連線的中垂線后，作軌跡圓時半徑一定要由小到大取至少五個不同的值，這樣才能 領(lǐng)會 到 題意 所需的臨界軌跡 。 解題高手 【例 1】 在 xOy平面 上的某圓形區(qū)域 內(nèi)，存在一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁 場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 m、 帶 電量為 +q的帶電粒子，由原點 O 開始沿 x正方向運動， 進(jìn)入該磁場區(qū)域后又射出該磁場；后來， 粒子經(jīng)過 y 軸上的 P點，此時速度方向與 y軸的夾角為 30176。 （ 1）若磁場區(qū)域的大小可根據(jù)需要 而改變， 試求 粒子速度 的 最大可 能值； （ 2）若粒子速度大小為 6qBLv m? ，試求該圓形磁場區(qū)域的最小面積。 初、末速度所在直線必定與粒子的軌跡圓相切，軌跡圓圓心到兩條直線的距離（即軌道半徑）相等，因此，圓心必位于 初、末速度延長線 形成的角的角平分線 QC上（如圖甲）；在角平分線 QC上取不同的點為圓心， 由小到大作出一系列軌跡圓 （如圖乙），其中以 C點為圓心軌跡 ① 是可能的軌跡圓中半徑最大的，其對應(yīng)的粒子速度也最大。 設(shè)粒子在磁場中作勻速圓周運動的軌道半徑為 r，則由牛頓第 二定律，有 2vqvB m r? 則 mvrqB? ① 由此可知粒子速度越大，其軌道半徑越大，由圖乙可知，速度 最大的粒子在磁場中運動軌跡的圓心是 y軸上的 C點。 由幾何關(guān)系有 tan 30OQ L??， 1 tan 30r OQ??， 可得 1 3Lr? ② 由 ① 、 ② 求得 3qBLv m? ③ （ 2）將 6qBLv m? 代入 ① 式，可得2 6Lr?，粒子的運動軌跡是 如圖丁所示的 軌跡圓 ② ，該軌跡圓與 x 軸相切于 D 點、與 PQ 相切 于 E 點。即面積最 小的磁場半徑為 12R DE? 則磁場的最小面積為 2223 ππ π ()1 2 4 8Ls R L? ? ? 【例 2】 如圖所示，長方形 abcd 的長 ad=，寬 ab=， O、 e分別是 ad、bc 的中點，以 e 為圓心 eb 為半徑的圓弧和以 O 為圓心 Od 為半徑的圓弧組成的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場 (eb 邊界上無磁場 )磁感應(yīng)強(qiáng)度 B=。 【 解答 】 所有進(jìn)入磁場的粒子的入射點均在 dOb 線上， 將該曲線垂直速度向上平移一個半徑 mvrqB?后得到曲線 Oaf，此即所有粒子在磁場中做圓周運動的圓心所在曲線 ， 在該曲線上從下到上取點作為圓心 、圖丙 L y 30o v O Q C A P ① x P y 30o x ② L O ③ 圖丁 A v C Q D E mvr qB? 為 半徑 作一系列軌跡圓，其中 ① 為從 d 點射入粒子的軌跡（圓心在 O 點）， ② 為從 O 點射入粒子的軌跡（圓心在 a點）， ③ 為從 a 點射入粒子的軌跡，從 d、 O之間入射粒子在磁場中轉(zhuǎn)過 1/4圓周后沿 eb邊界 作直線運動最終匯聚于 b 點， 從 O、 a 之間入射粒子先作直線運動再進(jìn)入磁場做圓周運動，由作圖易知這些粒子也匯聚于 b 點。試求 滿足條件的 磁場的最小面積，并求出該磁場圓圓心的坐標(biāo) 。 【解答】 本題中，電子初速度所在直線已知，電子進(jìn)入磁場的入射點在該直線上，則可知電子在磁場中作圓周運動的軌跡圓與該直線相切、且經(jīng)過 Q點，所以電子軌跡圓圓心到該直 線和到 Q 點的距離相等，即電子軌跡圓圓心在以該直線為準(zhǔn)線、 Q 點為焦點的拋物線上。 【答案】 2π41a ，（ b,2a ） f f ① ② f ③ ① 練習(xí) 【練習(xí) 1】 兩平面熒光屏互相垂直放置，在兩屏內(nèi)分別取垂直于兩屏交線的直線為 x 軸和 y 軸，交點 O為原點， 如圖所示。在 O 點處有一小孔，一束質(zhì)量為 m、帶電量為 q（ q0）的粒子沿 x 軸經(jīng)小孔射入磁場，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮。試求兩個熒 光屏上亮線的范圍（不計重力的影響）。 【答案】 豎直屏 上發(fā)亮的范圍從 0到 2a，
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