【正文】 試用含 m的代數(shù)式表示重疊三角形 A’ B’ C’ 的面積，并寫 出 m的取值范圍（直接寫出結(jié)果，備用圖供實(shí)驗(yàn)，探究用）． 題型二： 折疊與變換 綜合題型 評(píng)析：本題設(shè)計(jì)精巧，頗具新意，是以學(xué)生喜聞樂見的“折紙”為背景，展示了數(shù)學(xué)的豐富內(nèi)涵，材料鮮活、親切，表述簡(jiǎn)明直觀。第一問折疊是軸對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用，應(yīng)注意折疊中出現(xiàn)的不變量；第二問體現(xiàn)了由 特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，在直觀操作的基礎(chǔ)上，將直覺與簡(jiǎn)單推理相結(jié)合，考察了學(xué)生的建模能力． m m 8m 82m 82m0 8823m??2020/12/26 43 綜合題型 題型二： 折疊與變換 例 13（ 08浙江） 已知直角梯形紙片 OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 O(0， 0)， A(10， 0)， B(8， )， C(0， )，點(diǎn) T在線段 OA上 (不與線段端點(diǎn)重合 )，將紙片折疊，使點(diǎn) A落在射線 AB上 (記為點(diǎn) A′) ，折痕經(jīng)過點(diǎn) T，折痕 TP與射線 AB交于點(diǎn) P，設(shè)點(diǎn) T的橫坐標(biāo)為 t，折疊后紙片重疊部分 (圖中的陰影部分 )的面積為 S； (1)求 ∠ OAB的度數(shù)，并求當(dāng)點(diǎn) A′ 在線段 AB上時(shí)， S關(guān)于 t的 函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，求 t的取值范圍； (3)S存在最大值嗎？若存在，求出這個(gè)最大值，并求此時(shí) t 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 32 32評(píng)析： 這是一道翻折實(shí)驗(yàn)題，可以讓學(xué)生在親手操作中學(xué)習(xí)知識(shí)，充分考查學(xué)生的作圖能力、空間想象能力和探索能力。 折疊問題中構(gòu)造方程的方法： （ 2）尋找相似三角形，根據(jù)相似比得方程。 2020/12/26 45 重結(jié)果 折疊問題 折 疊 利用 Rt△ 利用 ∽ 方程思想 軸對(duì)稱 全等性 對(duì)稱性 質(zhì)本 精髓 2020/12/26 46 例 14（ 06順義二模）把兩個(gè)全等的等腰直角板 ABC和 OPQ疊放在一起， 如圖 1，且使三角板 OPQ的直角頂點(diǎn) O與三角板 ABC的斜邊中點(diǎn)重合． 現(xiàn)將三角板 OPQ繞點(diǎn) O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角 滿足條件 ），四邊形 CDOE是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部 分（如圖 2，圖 3所示），已知兩個(gè)三角板的直角邊長(zhǎng)均為 4． 探究：（ 1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，線段 OD與 OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān) 系 ,以圖 2為例證明你的猜想 . 題型三： 旋轉(zhuǎn)與探索 綜合題型 圖 3圖 2圖 1QEDOABQEDOABQOABC C CPPP實(shí)驗(yàn)與推理 0 9 0?? ? ? ??2020/12/26 47 例 15 （ 06 河北） 如圖 13 － 1 ，一等腰直角三角尺 G E F 的兩條直角邊與正方形 ABCD 的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形 ABCD 保持不動(dòng)，將三角尺 G E F 繞斜邊 EF 的中點(diǎn) O （點(diǎn) O 也是 BD 中點(diǎn)） 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)． （ 1 ）如圖 13 － 2 ，當(dāng) EF 與 AB 相交于點(diǎn) M ， GF 與 BD 相交于點(diǎn) N 時(shí)， 通過觀察或測(cè)量 BM ， FN 的 長(zhǎng)度，猜想 BM ， FN 滿足的數(shù)量關(guān)系 ，并證明你的猜想； （ 2 ）若 三角尺 G E F 旋轉(zhuǎn)到如圖 13 － 3 所示的位置時(shí)，線段 FE 的延長(zhǎng)線與 AB 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) M ，線段 BD 的延長(zhǎng)線與 GF 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) N ，此時(shí)，（ 1 ）中的猜想還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由 ． 圖 13 － 2 E A B D G F O M N C 圖 13 － 3 A B D G E F O M N C 圖 13 － 1 A ( G ) B ( E ) C O D ( F ) 實(shí)驗(yàn)與推理 題型三： 旋轉(zhuǎn)與探索 2020/12/26 48 【 點(diǎn)評(píng) 】 以上兩題都是通過三角板的旋轉(zhuǎn)來構(gòu)造探索性問題，學(xué)生在探 索過程中，可以表現(xiàn)出自己在從事觀察、實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)表達(dá)、猜 想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)方面的能力．此題關(guān)注了學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì) 象的過程與方法． 為了考查和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，中考試題中也越來 越多地引入了開放性問題，使學(xué)生通過對(duì)開放性試題的解答， 親自經(jīng)歷做數(shù)學(xué)的過程，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解． 這也對(duì)我們今后的教學(xué)的方向性起著導(dǎo)向作用． 2020/12/26 49 例 16 （ 08義烏）如圖 1，四邊形 ABCD是正方形， G是 CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) (點(diǎn) G與 C、 D不重合 )，以 CG為一邊在正方形 ABCD外作正方形 CEFG，連結(jié) BG， DE．我們探究下列圖中線段 BG、線段 DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系： （ 1）①猜想如圖 1中線段 BG、線段 DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系； ②將圖 1中的正方形 CEFG繞著點(diǎn) C按順時(shí)針 (或逆時(shí)針 )方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖 如圖 3情形．請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立 ,并選取圖 2證明你的判斷． 題型三： 旋轉(zhuǎn)與探索 綜合題型 實(shí)驗(yàn)與推理 2020/12/26 50 題型三： 旋轉(zhuǎn)與探索 綜合題型 （ 2）將原題中正方形改為矩形（如圖 4— 6），且 AB=a， BC=b，CE=ka， CG=kb (a≠b ， k＞ 0)，第 (1)題①中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖 5為例簡(jiǎn)要說明理由． （ 3）在第 (2)題圖 5中，連結(jié) DG、 BE，且 a=3， b=2， k= ，求 的值． 1222BE DG?評(píng)析： 本題考查學(xué)生探索知識(shí)、發(fā)現(xiàn)知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)的綜合創(chuàng)新能力。因此，學(xué)生的猜想可有一個(gè)大方向。 實(shí)驗(yàn)與推理 2020/12/26 51 綜合題型 【 點(diǎn)評(píng) 】 這些試題均體現(xiàn)新課標(biāo)所倡導(dǎo)的 “ 操作 —— 猜想 —— 探究 —— 證明 ” 理念。 這類題目解法的一般思路是：假設(shè)存在 → 推理論證 → 得出結(jié)論。 2020/12/26 53 “存在性 ” 問題大體可分為兩類： 1．由數(shù)量關(guān)系確定的 “ 存在性 ” 問題 （即要找的是滿足一個(gè) “ 特殊 ” 數(shù)量方面的要求） 2．由位置關(guān)系確定的 “ 存在性 ” 問題 （即要找的是滿足一個(gè) “ 特殊 ” 位置方面的要求） 解決的方法主要是借助于構(gòu)造基本圖形 解決的方法主要是借助于構(gòu)造方程 2020/12/26 54 解決此類問題的關(guān)鍵是將運(yùn)動(dòng)的 幾何元素當(dāng)作靜止來加以解答，即 “ 化 動(dòng)為靜 ” 的思路；并能從相對(duì)靜止的瞬 間清晰地發(fā)現(xiàn)圖形變換前后各種量與 量之間的關(guān)系，通過歸納得出規(guī)律和 結(jié)論，并加以論證 . 2020/12/26 55 例 17： （ 06順