高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-1第2章圓錐曲線與方程22(二)-在線瀏覽
2025-01-20 23:13本頁(yè)面
【正文】 ＝ 2 | x 2 － x 1 |＝ 2 2 ， 其中 x x2是方程 (a＋ b)x2－ 2bx＋ b－ 1＝ 0的兩根 ， 故 (2 ba ＋ b) 2 － 4 4 b 2 － 4 ? a ＋ b ?? b － 1 ?? a ＋ b ? 2. ∵ AB ＝ 2 2 ， ∴a ＋ b － aba ＋ b＝ 1. ① 設(shè) C ( x ， y ) ，則 x ＝x 1 ＋ x 22＝ba ＋ b， y ＝ 1 － x ＝aa ＋ b， ∵ OC 的斜率為22， ∴ab＝22. 代入 ① ，得 a ＝13， b ＝23. ∴ 橢圓方程為 x23 ＋23 y2 ＝ 1. 規(guī)律方法 處理直線不橢圓相交的關(guān)系問(wèn)題的通法是通過(guò)解直線不橢圓構(gòu)成的方程 .利用根不系數(shù)的關(guān)系戒中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決 ， 涉及弦的中點(diǎn) ， 還可使用點(diǎn)差法：設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo) ， 代入橢圓方程 ， 兩式相減即得弦的中點(diǎn)不斜率的關(guān)系 . 跟蹤演練 2 已知橢圓x236＋y29＝ 1 和點(diǎn) P ( 4,2) ，直線 l 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 且不橢圓交于 A 、 B 兩點(diǎn) . (1) 當(dāng)直線 l 的斜率為12時(shí)，求線段 AB 的長(zhǎng)度； 解 由已知可得直線 l 的方程為 y － 2 ＝12 ( x － 4) ， 即 y ＝12 x . 由??????? y ＝12x ，x236＋y29＝ 1 ，可得 x2－ 18 ＝ 0 ， 若設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2). 則 x1＋ x2＝ 0， x1x2＝－ 18. 于是 AB ＝ ? x 1 － x 2 ? 2 ＋ ? y 1 － y 2 ? 2 ＝ ? x 1 － x 2 ? 2 ＋ 14 ? x 1 － x 2 ?2 ＝52 ? x 1 ＋ x 2 ?2 － 4 x1 x 2 ＝52 6 2 ＝ 3 10 . 所以線段 AB 的長(zhǎng)度為 3 10 . (2)當(dāng) P點(diǎn)恰好為線段 AB的中點(diǎn)時(shí) ， 求 l的方程 . 解 方法一 設(shè) l的斜率為 k， 則其方程為 y－ 2＝ k(x－ 4). 聯(lián)立????? x236＋y29＝ 1 ，y － 2 ＝ k ? x － 4 ? ， 消去 y得 (1＋ 4k2)x2－ (32k2－ 16k)x＋ (64k2－ 64k－ 20)＝ 0. 若設(shè) A ( x1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，則 x 1 ＋ x 2 ＝32 k 2 － 16 k1 ＋ 4 k 2， 由于 AB的中點(diǎn)恰好為 P(4,2)， 所以x 1 ＋ x 22＝16 k 2 － 8 k1 ＋ 4 k 2＝ 4 ， 解得 k ＝－12，且滿足 Δ 0. 這時(shí)直線的方程為 y － 2 ＝－12( x － 4) ， 即 x＋ 2y－ 8＝ 0. 方法二 設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)， 則有??????? x2136＋y219＝ 1 ，
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