第2章-21-222雙曲線的幾何性質(zhì)-在線瀏覽
2025-01-20 15:13本頁面
【正文】 線方程為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【解析】 ( 1 ) 雙曲線 C1的焦點(diǎn)在 x 軸上， a ＝ c o s θ ， b ＝ s i n θ ，c ＝ 1 ，因此離心率 e1＝1c o s θ；雙曲線 C2的焦點(diǎn)在 y 軸上，由于 0 θ π4， 所以 a ＝ s i n θ ， b ＝ s i n θ t a n θ ， c ＝ si n2θ ＋ s i n2θ t a n2θ ， 因此離心率 e2＝si n2θ ＋ s i n2θ t a n2θsi n θ＝si n θ 1 ＋ t a n2θsi n θ＝1c o s θ. 故兩條雙曲線的實(shí)軸長、虛軸長、焦距都不相等，離心率相等． ( 2 ) 橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (177。 3 ，0) ，即 a ＝ 3 ，又 e ＝2 63，所以 e ＝ca＝2 63，解得 c ＝ 2 2 ，所以b ＝ c2－ a2＝ 5 . 所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (2 2 ， 0) ， ( － 2 2 ， 0) ．雙曲線的漸近線方程為 y ＝ 177。53x ＝ 177。153 x 由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線 的方程 分別求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． ( 1 ) 虛軸長為 12 ，離心率為54； ( 2 ) 頂點(diǎn)間距離為 6 ，漸近線方程為 y ＝ 177。 By ＝ 0 ，為避免討論，可設(shè)雙曲線方程為 A2x2－ B2y2＝ λ ( λ ≠ 0) 或x2B2 －y2A2 ＝ λ ( λ ≠ 0) 的形式，從而使運(yùn)算更簡捷． 3 ．與雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1( a ＞ 0 ， b ＞ 0) 共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為x2a2 －y2b2 ＝ λ ( λ ≠ 0) ． ( 1 ) 已知雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1 的一個(gè)焦點(diǎn)與圓 x2＋ y2－ 10 x ＝ 0 的圓心重合，且雙曲線的離心率等于 5 ，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ( ) A.x25－y220＝ 1 B.x225－y220＝ 1 C.x220－y25＝ 1 D ．x220－y225＝ 1 ( 2 ) 已知雙曲線的漸近線方程為 y ＝ 177。12x ，可設(shè)雙曲線方程為x222 －y2＝ λ ( λ ≠ 0) ． ∵ A (2 ，－ 3) 在雙曲線上， ∴2222 － ( － 3)2＝ λ ，即 λ ＝－ 8. ∴ 所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y28－x232＝ 1. 【答案】 ( 1 ) A ( 2 ) y28 －x 232 ＝ 1 求雙曲線的離心率 分別求適合下列條件的雙曲線的離心率． ( 1 ) 雙曲線的漸近線方程為 y ＝ 177。 ，求雙曲線的離心率． 【解】 設(shè) F1( c, 0) ，將 x ＝ c 代入雙曲線的方程得c2a2 －y2b2 ＝ 1 ，那么 y ＝ 177。 . 知 | F1F2|＝12| PQ |＝ | PF1|， ∴b2a＝ 2 c ，則 b2＝ 2 ac . ∴ c2－ 2 ac － a2＝ 0 ， ∴????????ca2－ 2 ca－ 1 ＝ 0. 即 e2－ 2 e － 1 ＝ 0. ∴ e ＝ 1 ＋ 2 或 e ＝ 1 － 2 ( 舍去 ) ． ∴ 所求雙曲線的離心率為 1 ＋ 2 . 忽略點(diǎn)在雙曲線上的位置致誤 已知雙曲線方程為 x2－ y2＝ 1 ，雙曲線的左支上一點(diǎn)P ( a ， b ) 到直線 y ＝ x 的距離是 2 ，求 a ＋ b 的值． 【錯(cuò)解】 ∵ P ( a ， b ) 到直線 y ＝ x 的距離是 2 . 故| a － b |2
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