【正文】 ???????????1)21(212120)()1()(1nnnnxnxnxn天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 例 : 差分運(yùn)算 ?????????? ?101)21()(1nnnx n?????????000)21()1(nnnx n??????????????????0)21(211110)1()()(nnnnxnxnxn后向差分 天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 基本運(yùn)算 — 時(shí)間尺度 (比例 )變換 設(shè)序列為 x(n)， m為正整數(shù)，則序列 ?抽取序列： y(n)= x(mn) ( / ) , , 0 , 1 , 2 ,()0,x n m n m l lznn? ? ? ??? ?? 其它 ?x(mn) 和 x(n/m)定義為對(duì) x(n)的時(shí)間尺度變換。 ? 保留 x(0) 天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 插值序列 ? x(n/m) ：對(duì) x(n)進(jìn)行插值運(yùn)算 ? 表示在原序列 x(n)相鄰兩點(diǎn) 之間插入 m1個(gè)零值點(diǎn) ? 保留 x(0) 天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 基本運(yùn)算 — 序列的能量 設(shè)序列為 x(n)，則序列 ? 定義為序列的能量，表示序列各取樣值的平方 之和； ? 若為復(fù)序列，取 模值 后再求平方和。 卷積和又稱(chēng)為 離散卷積 或 線性卷積 ，是 很重要 的公式。 解： ? n＜ 0時(shí)， x(m)與z(nm)沒(méi)有重疊 ，得y(n)=0。 天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 幾種常用序列 ? 單位脈沖 (抽樣 )序列 ? 單位階躍序列 ? 矩形序列 ? 實(shí)指數(shù)序列 ? 正弦序列 ? 復(fù)指數(shù)序列 天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 單位脈沖序列 ?δ(n)只在 n= 0時(shí)取確定值 1，其它均為零 ?δ(n)類(lèi)似于 δ(t) ??????0,00,1)(nnn????????mnmnmn,1)(??δ(nm)只有在 n= m時(shí)取確定值 1，而其余點(diǎn)取值均為零 天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 單位階躍序列 ? u(n)類(lèi)似于 u(t) ? u(t)在 t= 0時(shí)常不定義，u(n)在 n= 0時(shí)為 u(0)= 1 1 , 0()0 , 0nunn????≥＜1,()0,nmu n mnm?????≥＜? δ(n)和 u(n)的關(guān)系： δ(n) = u(n)u(n1) 0( ) ( ) ( )nkku n n k k????? ? ? ?? ? ???天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 單位矩形序列 ? N 為矩形序列的 長(zhǎng)度 1 , 0 1()0,NnNRn??? ??≤≤其它? 和 u(n)、 δ(n)的關(guān)系 ： ????NmN mnnR0)()( ?天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 實(shí)指數(shù)序列 ?a為實(shí)數(shù) ( ) ( )nx n a u n??當(dāng) |a|＜ 1時(shí)序列 收斂 ?當(dāng) |a|＞ 1時(shí)序列 發(fā)散 天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 正弦序列 ? A為幅度 ?ω為數(shù)字域角頻率 ?φ為起始相位 ?x(n)由 x(t)= sinΩt 取樣 得到 x(n)= Asin(ωn+φ) ?歸一化 : ω=ΩT =Ω/fs (ω與 Ω線性關(guān)系 ) 天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 復(fù)指數(shù)序列 ? ω為 數(shù)字域 角頻率 ?用 實(shí)部 與 虛部 表示 ?用 極坐標(biāo) 表示 ( ) e ( c os j si n )e c os e j si nnnnx n n nnn??????????? j a r g[ ( ) ] j( ) ( ) e e ex n n nx n x n ??? ? ??σ=0時(shí)，序列具有以 2π為周期的 周期性 復(fù)指數(shù)序列在實(shí)際中不存在，它是為了數(shù)學(xué)上的表示和分析方便而引入的，它的特性和正弦或余弦序列的特性基本一致。 ? 以 正弦序列 為例討論周期性 ()xn設(shè) x(n)= Asin(ωn+φ) 則有 x(n+N) =Asin[ω(n+N)+φ] =Asin(ωN+ωn+φ) 若 滿(mǎn)足條件 ωN= 2kπ，則 x(n+N)= Asin[ω(n+N)+φ] = Asin(ωn+φ) = x(n) 天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 周期性討論 ? N、 k 為整數(shù)， k 的取值滿(mǎn)足條件，且保證 N 是最小正整數(shù)。此時(shí)為周期序列，周期為 2π/ω。 ( ) 5 si n( 3 )4x n n???例 序列 ，因?yàn)?，所以是一個(gè)周期序列，其周期 。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 周期性討論 ? 2π/ω為 有理數(shù)而非整數(shù) 時(shí)，仍然是周期序列，周期大于 2π/ω。 ? 2π/ω為 無(wú)理數(shù) 時(shí)， 任何 k 都不能使 N 為正整數(shù)，這時(shí)正弦序列不是周期序列。 例 序列 , 2π/ω= 8π/3是無(wú)理數(shù)，所以不是周期序列。天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 周期性討論 ? 判斷一個(gè)正弦序列是否是周期序列的方法是： ? 用 2π 除以它的數(shù)字頻率 ω ，若得出的是整數(shù)或有理數(shù)，則序列為周期序列；若得出的是無(wú)理數(shù)，序列就不是周期序列。 天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 下面來(lái)說(shuō)明模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系。該式即為數(shù)字頻率 ω和模擬角頻率 Ω0、模擬頻率 f 0之間關(guān)系式，它們是依靠采樣間隔 T 或采樣頻率 f s 進(jìn)行關(guān)聯(lián)的。 天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 數(shù)字頻率的特點(diǎn)： （ 1） ω是一個(gè)連續(xù)取值的量； （ 2） ω的量綱為一種角度的量綱單位：弧度（ rad）。 天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 正弦型序列是周期序列的條件為： kN???2kNTTTfTfT ????????00001212122?????（有理數(shù)） 則 當(dāng) N 個(gè)抽樣間隔等于 k 個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的周期時(shí)，由正 弦信號(hào)抽樣得到的正弦序列是周期序列。 系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上定義為將輸入序列 x(n)映射成輸出序列 y(n)的唯一性變換或運(yùn)算 。 天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 系統(tǒng)可以表示為 其中，符號(hào) T[ ]表示系統(tǒng)的映射或處理，可以把T[ ]簡(jiǎn)稱(chēng)為系統(tǒng)。 由于它們均為離散時(shí)間信號(hào) ， 將系統(tǒng) T[ ]稱(chēng)為離散時(shí)間系統(tǒng)或時(shí)域離散系統(tǒng) 。 設(shè) y1(n)=T [x1(n)]， y2(n)=T [x2(n)] 對(duì)任意常數(shù) a,b， 若 T [ax1(n)+bx2(n)]=aT [x1(n)]+bT [x2(n)] =a y1(n)+b y2(n) 則稱(chēng) T[ ]為 線性離散時(shí)間系統(tǒng) 。 ? ? ?? ? ???NkNkNkkkkkkk nyanxTanxaT1 1 1)()]([)]([天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 [例 ] 證明由線性方程表示的系統(tǒng) 是非線性系統(tǒng)。 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]T x n x n a x n x n b? ? ? ?1212( ) ( )( ) ( )ax n ax n by n y n? ? ??? 不滿(mǎn)足可加性天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 非時(shí)變離散時(shí)間系統(tǒng) 若滿(mǎn)足下列條件 ， 系統(tǒng)稱(chēng)為非時(shí)變 （ 非移變 ）系統(tǒng) ， 或時(shí)不變 （ 移不變 ） 系統(tǒng) 。 天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 下圖形象說(shuō)明了系統(tǒng)非時(shí)變性的概念 。 解 設(shè) y1(n) = nx1(n), y2(n) =nx2(n) x(n) = a1x1(n)+a2x2(n) 則 T [x(n)] = nx(n) = na1x1(n)+na2x2(n) = a1y1(n)+ a2y2(n) 所以 ， 系統(tǒng)為線性系統(tǒng) 。 天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 線性時(shí)不變離散系統(tǒng) 定義 同時(shí)具備 線性 和 時(shí)不變性 的系統(tǒng)稱(chēng)作線 性非時(shí)變系統(tǒng)或線性時(shí)不變系統(tǒng)。 任何一個(gè)信號(hào)可以表示成單位取樣序列的線性組合，即 ???????kknkxnx )()()( ?天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 系統(tǒng)對(duì) 的響應(yīng)為 設(shè)系統(tǒng)對(duì)單位取樣序列 的響應(yīng)為 ， 即 稱(chēng)為系統(tǒng)的 “單位取樣響應(yīng)” ，它是描述系統(tǒng)的一個(gè)非常重要的信號(hào)。將上式的運(yùn)算方式稱(chēng)作“離散卷積”，簡(jiǎn)稱(chēng) “卷積” ，采用符號(hào)“ *”表示，即 )]([)( knTknh ??? ????????kknhkxny )()()()(*)()( nhnxny ? )(*)( nxnh?天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 離散卷積的運(yùn)算規(guī)律 (1) 交換律 h(n)*x(n) = x(n)*h(n) 它的意義可以解釋為，如果互換系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng) h(n)和輸入 x(n)，系統(tǒng)的輸出保持不變。 x(n) y(n) h1(n) h2(n) x(n) y(n) h2(n) h1(n) x(n) y(n) h1(n)*h2(n) 天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 結(jié)合律證明： ??? ??????????????????????????????kmk mkknhmkhmxknhmkhmxknhkhkxnhnhnx)()()()(])(*)([)()](*)([)(*)](*)([21212121令 km=r（ k=r+m），則 )](*)([*)()](*)([)()()()(212121nhnhnxmnhmnhmxrmnhrhmxmrm??????????????????????上式天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 (3) 分配律 x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) = x(n)*[h1(n)+ h2(n)] 它的意義可以解釋為一個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，或并聯(lián)系統(tǒng)可以等效為一個(gè)系統(tǒng)，輸出保持不變。 (5) 與 δ(nk)卷積的移位性 x(n)*δ(nk) = x(nk) 它的意義可以解釋為輸入通過(guò)一個(gè)線性相位的全通系統(tǒng)。 [例 ] 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和輸入序列如下圖所示，畫(huà)出輸出的波形。 圖解法的過(guò)程如圖 。 因?yàn)? 所以 將 x(n)的表達(dá)式代入上式，得到 兩種方法結(jié)果一致。 若 則 線性時(shí)不變離散系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的 充要條件 （穩(wěn)定性定理） ： | ( ) |x n M? ? ?| ( ) |y n P? ? ?| ( ) |nh n P?? ? ?? ? ?? 即，系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)絕對(duì)可和。 必要條件 利用 反證法 ，已知系統(tǒng)穩(wěn)定，假設(shè) ，可以找 到一個(gè)有界的輸入 則 即輸出無(wú)界，這不符合穩(wěn)定的假設(shè)，因而假設(shè)不成立，所以 是穩(wěn)定的必要條件。