【正文】 直線垂直時(shí)的投影特性。⒉ 投影面平行線 在其平行的投影面上的投影反映線段實(shí)長及與相應(yīng)投影面的夾角。⒊ 投影面垂直線 在其垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。返回返回下頁下頁上頁上頁三、直線上的點(diǎn)⒈ 點(diǎn)的投影在直線的同名投影上。四、兩直線的相對(duì)位置⒈ 平行⒉ 相交⒊ 交叉（異面） 同名投影互相平行。 同名投影可能相交，但 “交點(diǎn) ”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。返回返回下頁下頁上頁上頁五、相互垂直的兩直線的投影特性⒈ 兩直線同時(shí)平行于某一投影面時(shí)，在該 投影面上的投影反映直角。⒊ 兩直線均為一般位置直線時(shí)， 在三個(gè)投影面上的投影都不 反映直角。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。為什么？γβ是什么位置的平面？返回返回下頁下頁上頁上頁a? b? c? a? b?c?abc⒉ 投影面平行面積聚性 積聚性實(shí)形性 水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。返回返回下頁下頁上頁上頁a?b?c?a?c?b?abc⒊ 一般位置平面三個(gè)投影都類似。定 理 二若一直線過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。解法一 解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理一有多少解？有無數(shù)解。n?m?nm10 c?a?b?cab 唯一解！有多少解？返回返回下頁下頁上頁上頁⒉ 平面上取點(diǎn) 先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。b①acc?a?k?b?●k● 面上取點(diǎn)的方法：首先面上取線②●abca?b?k?c?d?k● d利用平面的積聚性求解 通過在面內(nèi)作輔助線求解返回返回下頁下頁上頁上頁bckada?d?b?c?ada?d?b?c?k?bc例 2：已知 AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形 ABCD的水平投影。一、平行問題 直線與平面平行 平面與平面平行包括⒈ 直線與平面平行定理： 若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。有無數(shù)解有多少解？返回返回下頁下頁上頁上頁正平線例 2：過 M點(diǎn)作直線 MN平行于 V面和平面 ABC。② 若兩 投影面垂直面相互平行，則它們 具有積聚性 的那組投影必相互平行。要討論的問題：● 求 直線與平面的 交點(diǎn)。 我們只討論直線與平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。空間及投影分析 平面 ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與 mn的交點(diǎn)即為 K點(diǎn)的水平投影。還可通過重影點(diǎn)判別可見性。① 求交點(diǎn)② 判別可見性 點(diǎn) Ⅰ 位于平面上，在前；點(diǎn) Ⅱ 位于 MN上，在后。1?(2?)k?●21●●作圖 用面上取點(diǎn)法返回返回下頁下頁上頁上頁⒉ 兩平面相交 兩平面相交其交線為直線， 交線是兩平面的共有線， 同時(shí) 交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。⑵ 確定 一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。② 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即： 判別可見性。abcdefc?f?d?b? e?a?m?(n?)空間及投影分析 平面 ABC與 DEF都為 正垂面 ，它們的正面投影都積聚成直線。① 求交線② 判別可見性作 圖 從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。⑴返回返回下頁下頁上頁上頁b?c?f? h?a?e?abcefh1(2)空間及投影分析 平面 EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。① 求交線② 判別可見性點(diǎn) Ⅰ 在 FH上，點(diǎn) Ⅱ 在 BC上， 點(diǎn) Ⅰ 在上，點(diǎn) Ⅱ 在下，故fh可見， n2不可見。 所以 ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為 MK。三、兩平面平行的條件一定是分別位于兩平面 內(nèi)的 兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行。解題思路：★ 空間及投影分析 目的是找出交點(diǎn)或交線的已知投影。一、平面的投影特性， 尤其是特殊位置平面的 投影特性。在其垂直的投影面上的投影積聚成直線 —— 積聚性 。 在其平行的投影面上的投影反映實(shí)形 —— 實(shí)形性 。 返回返回下頁下頁上頁上頁二、平面上的點(diǎn)與直線⒈ 平面上的點(diǎn)一定位于平面內(nèi)的某條直線上⒉ 平面上的直線⑴ 過平面上的兩個(gè)點(diǎn)。三、平行問題⒈ 直線與平面平行 直線平行于平面內(nèi)的一條直線。返回返回下頁下頁上頁上頁四、相交問題⒈ 求直線與平面的交點(diǎn)的方法⑴ 一般位置直線與特殊位置平面求交點(diǎn)，利用 交點(diǎn)的共有性和平面的積聚性直接求解。⒉ 求兩平面的交線的方法⑴ 兩特殊位置平面相交，分析交線的空間位置， 有時(shí)可找出兩平面的一個(gè)共有點(diǎn)，根據(jù)交線 的投影特性畫出交線的投影。返回返回下頁下頁上頁上頁 換面法一、問題的提出★ 如何求一般位置直線的實(shí)長？★ 如何求一般位置平面的真實(shí)大小？ 換 面 法： 物體本身在空間的位置不動(dòng)，而用某一新投影面（輔助投影面）代替原有投影面，使 物體相對(duì)新的投影面處于解題所需要的有利位置 ，然后將物體向新投影面進(jìn)行投射。返回返回下頁下頁上頁上頁VHAB a? b?ab二、新投影面的選擇原則1. 新投影面必須對(duì)空間物體處于 最有利的解 題位置。Pa39。1返回返回下頁下頁上頁上頁VHA a?a???axX??⒈ 更換一次投影面? 舊投影體系 X —VH ? 新投影體系 P1HX1 —A點(diǎn)的兩個(gè)投影： a， a? A點(diǎn)的兩個(gè)投影： a， a39。1ax1?????VHXP1HX1 a?aa39。1VHA a???axXX1P1a39。1 ? X1? a39。axa??????一般規(guī)律：? 點(diǎn)的新投影和與它有關(guān)的原投影的連線，必垂直 于新投影軸。aa?X1P1V ?a1ax ax1ax1更換 V面● a39。1ax1?P2X2???ax2a2??? ????返回返回下頁下頁上頁上頁ax2? a?aXVH?⑵ 求新投影的作圖方法?a2X1HP1 X2P1P2 作圖規(guī)律 a2a39。1?axax1????..返回返回下頁下頁上頁上頁VHAB a? b?ab四、換面法的四個(gè)基本問題1. 把一般位置直線變換成投影面平行線用 P1面代替 V面，在 P1/H投影體系中， AB//P1。1b39。 a? b?abX VH新投影軸的位置？a39。1●與 ab平行。1● b39。1b39。X2軸的位置？?a2?b2 ax2a2?b2?.與 a39。1垂直一次換面把直線變成投影面平行線；返回返回下頁下頁上頁上頁 一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？ a? b? c?a bcdVHABCDX d?3. 把一般位置平面變換成投影面垂直面 如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。1b39。1?d39。作圖方法：兩平面垂直需滿足什么條件？能否只進(jìn)行一次變換？ 思考：若變換 H面，需在面內(nèi)取什么位置直線？正平線！返回返回下頁下頁上頁上頁α a? b? c?acbX VH例：把 三角形 ABC變 換 成投影面垂直面?！?d★ 將 AD變換成新投影 面的垂直線。1●a39。1●c39。1?b39。X2P1P24. 把一般位置平面變換成投影面平行面ab a? c? b?XVHc作 圖： AB是水平 線空間分析：a2●c2●b2●c39。1?距離dd39。c c? b? a?abX VH??五、換面法的應(yīng)用 如下圖：當(dāng)直線 AB垂直于投影面時(shí)， CD平行于投影面，其投影反映實(shí)長?？臻g及投影分析：c39。1? a2?b2?d2?過 c39。...如何確定 d1點(diǎn)的位置？返回返回下頁下頁上頁上頁b?a?abcd●c?例 2：已知兩交叉直線 AB和 CD的公垂線的長度 為 MN， 且 AB為水平線，求 CD及 MN的投影。1≡b39。1●n39。1●d39。P1ACDN Mc1 d1a1m1b1n1B作圖：請(qǐng)注意各點(diǎn)的投影如何返回？求 m點(diǎn)是難點(diǎn)。），因此需將 AB與 C點(diǎn)所確定的平面變換成投影面平行面。角。1●a39。1●a2●d2●d●b2● 幾個(gè)解？兩個(gè)解！ 已知點(diǎn) C是等邊三角形的頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)在直線 AB上，求等邊三角形的投影。D點(diǎn)的投影如何返回？..返回返回下頁下頁上頁上頁P(yáng)2P1 X2HP1X1c?d? b?a?dacb●d39。1●a39。1c2●●a2≡ b2θVHX θ例 4：求平面 ABC和 ABD的兩面角。 在投影圖中 , 兩平面的交線垂直于投影面時(shí)，則兩平面垂直于該投影面，它們的投影積聚成直線，直線間的夾角為所求。一、 換面法就是 改變投影面的位置 ，使它與所給物 體或其幾何元素處于 解題所需的特殊位置 。三、 點(diǎn)的變換規(guī)律是換面法的作圖基礎(chǔ) ，四個(gè)基本 問題是解題的基本作圖方法，必需熟練掌握。⒉ 根據(jù)要求得到的結(jié)果，確定出有關(guān)幾何元 素 對(duì)新投影面應(yīng)處于什么樣的特殊位置 （垂 直或平行），據(jù)此選擇正確的解題思路與方 法。返回返回下頁下頁上頁上頁VWH 體的投影及三視圖一、體的投影 體的投影，實(shí)質(zhì)上是構(gòu)成該體的所有表面的投影總和。返回返回下頁下頁上頁上頁? 主視圖反映：上、下 、左、右? 俯視圖反映：前、后 、左、右? 左視圖反映：上、下 、前、后上下左 右后前上下前后左 右返回返回下頁下頁上頁上頁 常見的基本幾何體平面基本體 曲面