三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)-在線瀏覽
2025-01-15 15:19本頁(yè)面
【正文】 3 sinxcosxcos4x 的最小正周期和最小值 ,并寫(xiě)出該函數(shù)在 [0, ?] 上的單調(diào)增區(qū)間 . 解 : ∵ y=sin4x+2 3 sinxcosxcos4x =(sin2xcos2x)(sin2x+cos2x)+ 3 sin2x = 3 sin2xcos2x 6 ? =2sin(2x ) 故該函數(shù)的最小正周期是 ?, 最小值是 2. 3 ? 在 [0, ?] 上的單調(diào)增區(qū)間是 [0, ] 和 [ , ?]. 6 5? 由 2k? ≤ 2x ≤ 2k?+ (k?Z) 得 : 2 ? 2 ? 6 ? k? ≤ x≤ k?+ (k?Z). 3 ? 6 ? 令 k=0, 1 即得函數(shù) y=sin4x+2 3 sinxcosxcos4x y= cos2x+ sinxcosx+1, x?R. (1)求當(dāng) y 取得最大值時(shí)自變量 x 的集合 。 6 ? 6 ? ② 將所得圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 倍 (縱坐標(biāo)不變 ), 得到 y=sin(2x+ ) 的圖象 。 1 2 6 ? 1 2 5 4 ④ 將所得圖象向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 , 得到 y= sin(2x+ ) + 的圖象 。 (2)判斷它的單調(diào)區(qū)間 。 (4)判斷它的周期性 , 如果是周期函數(shù) , 求出它的一個(gè)周期 . 1 2 解 : (1)由 sinxcosx0, 即 2sin(x )0 得 : 4 ? 2k?+ x2k?+ , k?Z 4 ? 4 5? {x | 2k?+ x2k?+ , k?Z}. 4 ? 4 5? ∴ f(x) 的定義域?yàn)? ∵ sinxcosx= 2sin(x )≤ 2 , 4 ? ∴ f(x)=log (sinxcosx)≥ log 2 = . 1 2 1 2 1 2 ∴ f(x) 的值域?yàn)?[ , +∞ ). 1 2 (2)∵ y=sinxcosx 在 f(x) 的定義域上的單調(diào)遞增區(qū)間是 (2k?+ , 2k?+ ](k?Z)。 4 ? 4 3? ∴ f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 (3)∵ f(x) 的定義域在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱 , ∴ 函數(shù) f(x) 是非奇非偶函數(shù) . =log (sinxcosx) 1 2 (4)∵ f(x+2?)=log [sin(x+2?)cos(x+2?)] 1 2 =f(x), ∴ 函數(shù) f(x) 是周期函數(shù) , 它的一個(gè)周期是 2?. f(x)=Asin(?x+?)(A0, ?0, x?R) 在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示 : 2 3? 2 ? 2 5? 2 7? 2 ? o x y 2 求直線 y= 3 與函數(shù) f(x) 圖象的所有交點(diǎn)的坐標(biāo) . 2 7? 解 : 根據(jù)圖象得 A=2, T= ( )=4?, 2 ? ∴ ?= . 1 2 ∴ y=2sin( x+?). 1 2 1 2 由 ( )+?=0 得 ?= . 2 ? 4 ? ∴ y=2sin( x+ ). 1 2 4 ? 由 3=2sin( x+ ) 得 1 2 4 ? 3 2 sin( x+ )= . 1 2 4 ? ∴ x+ =2k?+ 或 2k?+ (k?Z). 1 2 4 ? 3 2? 3 ? ∴ x=4k?+ 或 4k?+
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