導數(shù)與函數(shù)圖象的切線及函數(shù)零點問題-在線瀏覽
2024-09-15 05:46本頁面
【正文】 ，m ′ ( x ) ＞ 0 ， m ( x ) 單調遞增； x ∈ ( 2 ， ＋ ∞ ) 時 ， m ′ ( x ) ＜ 0 ， m ( x ) 單調遞減； 可知 m ( x ) ≤ m ( 2 ) ＝4e2 ， 且 m ( x0) ＜ m ( 2 ) . 綜上可得 ， 函數(shù) m ( x ) 的最大值為4e2 . 真題感悟 題型突破 歸納總結 考點整合 熱點聚焦 思維升華 三次函數(shù)在存在兩個極值點的情況下，由于當 x→∞ 時，函數(shù)值也趨向 ∞ ，因此只要按照極值與零的大小關系確定其零點的個數(shù)即可 .存在兩個極值點 x1， x2且 x1＜ x2的函數(shù) f(x)＝ax3＋ bx2＋ cx＋ d(a≠ 0)的零點分布情況如下： a的符號 零點個數(shù) 充要條件 a＞ 0 (f(x1)為極大值， f(x2)為極小值 ) 一個 f(x1)＜ 0 兩個 f(x1)＝ 0或者 f(x2)＝ 0 三個 f(x1)＞ 0且 f(x2)＜ 0 a＜ 0 (f(x1)為極小值， f(x2)為極大值 ) 一個 f(x2)＜ 0 兩個 f(x1)＝ 0或者 f(x2)＝ 0 三個 f(x1)＜ 0且 f(x2)＞ 0 真題感悟 題型突破 歸納總結 考點整合 熱點聚焦 思維升華 【 例 1 － 1 】 ( 1 ) ( 2022 全國 Ⅰ 卷 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ ax3＋ x ＋ 1 的圖象在點 ( 1 ， f ( 1 ))處的切線過點 ( 2 ， 7 ) ， 則 a ＝ ________ . 熱點一 函數(shù)圖象的切線問題 [微題型 1] 單一考查曲線的切線方程 真題感悟 題型突破 歸納總結 考點整合 熱點聚焦 思維升華 探究提高 (1)求曲線的切線要注意 “過點 P的切線 ” 與 “ 在點 P處的切線 ” 的差異 ， 過點 P的切線中 ， 點 P不一定是切點 ，點 P也不一定在已知曲線上 ， 而在點 P處的切線 ， 必以點 P為切點 . (2)利用導數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導數(shù)、切點坐標、切線斜率之間的關系來進行轉化 .以平行、垂直直線斜率間的關系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關系，進而和導數(shù)聯(lián)系起來求解 . 真題感悟 題型突破 歸納總結 考點整合 熱點聚焦 思維升華 (2) 設過點 P (1 ， t ) 的直線與曲線 y ＝ f ( x ) 相切于點 ( x0， y0) ， 則 y0＝ 2 x30－ 3 x0，且切線斜率為 k ＝ 6 x20－ 3 ， 所以切線方程為 y － y0＝ (6 x20－ 3)( x － x0) ， 因此 t － y0＝ (6 x20－ 3)( 1 － x0). 整理得 4 x30－ 6 x20＋ t ＋ 3 ＝ 0 ， 設 g ( x ) ＝ 4 x3－ 6 x2＋ t ＋ 3 ， 則 “ 過點 P (1 ， t ) 存在 3 條直線與曲線 y ＝ f ( x ) 相切 ” 等價于 “ g ( x )有 3 個不同零點 ”. g ′( x ) ＝ 12 x2－ 12 x ＝ 12 x ( x － 1) ， 真題感悟 題型突破 歸納總結 考點整合 熱點聚焦 思維升華 當 g(0)＞ 0且 g(1)＜ 0， 即－ 3＜ t＜－ 1時 ， 因為 g(－ 1)＝ t－ 7＜ 0，g(2)＝ t＋ 11＞ 0， 所以 g(x)分別在區(qū)間 [－ 1， 0)， [0， 1)和 [1， 2)上恰有 1個零點 ， 由于 g(x)在區(qū)間 (－ ∞ ， 0)和 (1， ＋ ∞ )上單調 ， 所以 g(x)分別在區(qū)間 (－ ∞ ， 0)和 [1， ＋ ∞ )上恰有 1個零點 . 綜上可知 ， 當過點 P(1， t)存在 3條直線與曲線 y＝ f(x)相切時 ， t的取值范圍是 (－ 3， － 1). 探究提高 解決曲線的切線問題的關鍵是求切點的橫坐標，解題時先不要管其他條件，先使用曲線上點的橫坐標表達切線方程，再考慮該切線與其他條件的關系，如本題第 (2)問中的切線過點 (1， t). 真題感悟 題型突破 歸納總結 考點整合 熱點聚焦 思維升華 過點 N可作曲線 f(x)的三條切線等價于方程 2λ3－ 6λ2＋ 3＝ 0有三個不同的解 . 設 g(λ)＝ 2λ3－ 6λ2＋ 3， 則 g′(λ)＝ 6λ2－ 12λ＝ 6λ(λ－ 2). 當 λ變化時， g′(λ)， g(λ)的變化情況如下表： λ (－ ∞ ， 0) 0 (0， 2) 2 (2，＋ ∞ ) g′(λ) ＋ 0 － 0 ＋ g(λ) 極大值 3 極小值－ 5 因為 g(λ)在 R上只有一個極大值 3和一個極小值－ 5， 所以過點 N可以作曲線 f(x)＝ x3－ x的三條切線 . 真題感悟 題型突破 歸納總結 考點整合 熱點聚焦 思維升華 (2)證明 由 (1)知 ， f(x)＝ x3－ 3x2＋ x＋ 2. 設 g(x)＝ f(
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