【正文】 ????????dVVedSSede SV )()( ??????P dVT dSde ??VVSSSVSPSVeVTVSe)())(()())((????????????????),( VSee ?等熵關(guān)系的建立 即： 類似有： —— （ 9） （ Maxwell關(guān)系 ） 將 （ 9） 的第二式代入 （ 1） 的第一式有： [（ 1）的第一式 ] 又由 （ 3） 式： ， 代入上式： 有： （ 10） VS SPVT )()(??????TV VSTP )()(?????PS SVPT )()(????? TP PSTV )()( ??????dVTPdTTSdS VV )()( ??????TCTTeTS VVV ?????? )()(dVTPT dTCdS VV )( ????dVVSdTTSdS TV )()( ??????),( PTSS ? ),( PThh ?dPPSdTTSdS TP )()( ?????? dPPhdTThdh TP )()( ??????若 ， ， （ 11） dPVPSTdTTSTV d PT d Sdh TP ])([)( ?????????等熵關(guān)系的建立 類似有： 代入 （ 11） 的第 1式： （ 12） （ 10） ， （ 12） 就是熵函數(shù)的一般表達(dá)式 （ 微分形式 ） ，也可以寫成積分形式： （ 13） PPP CThTST ?????? )()(dVTVdTTCdTPSdTTCdS PPTP )()( ????????dPTVTdTCSSdVTPTdTCSSPPVV)()(00??????????????等熵關(guān)系的建立 對(duì)熱完全氣體 （ 理想氣體 ） ： ， ， （ 14） 對(duì)量熱完全氣體： （ 15） 定義： —— 絕熱指數(shù) 又因?yàn)椋? ， ，代入（ 15）式： （ 該式的來歷見下面的討論 ) )(TCC PP ?)(TCC VV ? RTPV ?c o n stVRTdTCSc o n stVRTdTCSTT PTT V????????lnln00c o n stPRTCSc o n stVRTCSPV??????lnlnlnln??vp CC1?? ?RCV 1?? ??RCP 對(duì)絕熱可逆過程： ， 所以有： 又因?yàn)椋? ， 所以： 或 或 —— 多方氣體的等熵關(guān)系，亦為絕熱關(guān)系。 如果流場中的物理量只是位置函數(shù) ， 而與時(shí)間無關(guān) ， 則稱為定常流場 ， 這種流動(dòng)就稱為定常流動(dòng) （ steady flow） ， 否則為不定常 (unsteady flow)的 。 推導(dǎo)條件 ：忽略氣體的粘性，熱傳導(dǎo)（絕熱），無化學(xué)變化，不考慮體積力（如重力（對(duì)氣體可忽略），電磁力）對(duì)流動(dòng)的影響，只有體積膨脹功。 ?Au?xxAuAu ???? )( ??txAu??? )(?Δx x1 x2 ρAu ρAu+ xxAu ???? 氣體一維流動(dòng)的基本方程組 即： 即： （ 控制體體積不變 ， 與 t無關(guān) ） （ 1） （ ， ， ） —— 連續(xù)方程 （ 當(dāng)?shù)赜^點(diǎn) ） 物質(zhì)導(dǎo)數(shù) （ Lagrange導(dǎo)數(shù) ） 的變換關(guān)系： 稱為 Euler導(dǎo)數(shù) 。 txAxxAuAuAu????????? )())(( ????xtAt xAxxAu ????? ??????? ??? )()(xA ?,? 0)( ?????? xAutA ??),( tx?? ? ),( txuu ? )(xAA ?tF?????, TPV ? 氣體一維流動(dòng)的基本方程組 tFdtdFt ????? 0lim物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義： 以求加速度為例，給出 物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的微分變換關(guān)系 ： 設(shè)流體質(zhì)點(diǎn)在流場中沿運(yùn)動(dòng)軌跡 C運(yùn)動(dòng)，從當(dāng)?shù)赜^點(diǎn)出發(fā)，流體速度為： 假定 t時(shí)刻 ， 流體微團(tuán)在 M點(diǎn) ， 速度為 ， 經(jīng)時(shí)刻 后 ，運(yùn)動(dòng)到 N點(diǎn) ， 速度為： 加速度 （ 2） 由于流場的非均勻性和不定常性，該微團(tuán)的速度在運(yùn)動(dòng)過程中不止經(jīng)歷了 的變化，而且也經(jīng)歷了 的變化。 ),(),( tzyxutruu ???? ??),( tMu? t?),( ttNu ???ttMuttNudtudt ????????),(),(l i m0?????t?kzjyixr ???? ???????r??t?M N ),( tMu?),( ttNu ??? 氣體一維流動(dòng)的基本方程組 （ 2） 式可寫為： （ 3） 代表沿 S方向移動(dòng)單位長度引起的速度變化 ， 而如 今單位時(shí)間移動(dòng)了 u的距離 ， 所以 S方向的速度變化為 。 ：當(dāng)?shù)貢r(shí)間導(dǎo)數(shù) ， 局部導(dǎo)數(shù) ， Euler導(dǎo)數(shù) 。 ：遷移導(dǎo)數(shù) ， 對(duì)流導(dǎo)數(shù) ， 反映了流場的非均勻性， 是流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)到不同位置時(shí)所引起的 F的變化。開口系 ， Euler方法 ） ： 單位質(zhì)量氣體總能量為： （ e ：單位質(zhì)量內(nèi)能 ， ：單位質(zhì)量動(dòng)能 ） 單位時(shí)間內(nèi)通過 x1面進(jìn)入微元體 Δx的能量： 單位時(shí)間內(nèi)通過 x2面流出微元體 Δx的能量： x1面上 ， 外力單位時(shí)間內(nèi)對(duì)微元所做的功為： （ 功率） 221 ue ? 221u)2( 2ueAu ??xxueAuueAu ??????)]2([)2(22 ??PAux2面上微元體單位時(shí)間內(nèi)克服外力所做的功為： 微元體 Δx的總能量變化率為： xxP A uP A u ???? )(txAue???? ])21[( 2 ?能量方程 Δx x1 x2 ρAu ρAu+ xxAu???? x P )( xxPP ????由能量守恒：微元體 Δx的總能量變化率應(yīng)等于單位時(shí)間內(nèi)流進(jìn)的凈能量加上外力做功的和 。 微分形式為： 若只考慮體積功 ， 則有： （ E：內(nèi)能； Q：熱量； P：壓力 ） 或： （ q：單位質(zhì)量的供熱量； e：單位質(zhì)量內(nèi)能； P：壓強(qiáng) ） 又因?yàn)椋? （ 對(duì)封閉體系的可逆過程 ） ， ， WEQ ???QE? WWQdE ?? ??P d VQdE ?? ?P d Vdeq ???TdSQ ???1?V?? ddV 21?? ??? dPdeT d S 2?? （ 12） ? dtdPdtdedtdST ?? 2?? （ 同除以 dt) 將 （ 11） 式 、 （ 6） 式代入 （ 12） 式有： 即： 或 （ 13） 可見 ， 某封閉體系 （ 流體微團(tuán) ） 絕熱可逆條件下的流動(dòng)是等熵的（ 對(duì)于無粘流體 ） （ 完全氣體的絕熱流動(dòng)必為等熵流動(dòng) ） ： 因?yàn)椋? 所以： 0)()(/ 2 ???????? xAuAPxAuA PdtT d S ???0?dtdS 0??????xSutS),( ?PSS ?c o n s tPSS ?? ),( ?由以上推導(dǎo)的非定常流動(dòng)的基本方程組為 （ 變截面 ， 一維 ） 連續(xù)方程（質(zhì)量守恒方程）