【正文】 便使之更有說(shuō)服力 。 曾經(jīng)極其廣泛地開(kāi)拓了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的有創(chuàng)造才能的先驅(qū)們 ， 并不因?yàn)橐惯@些新發(fā)現(xiàn)受制于協(xié)調(diào)的邏輯分析而束縛住自己 ， 因此 ， 在十七世紀(jì) ， 逐漸廣泛地采用直觀(guān)證據(jù)來(lái)代替演繹的證明 。 由于對(duì)微積分新方法的全面威力的信念 ， 促使研究者們走得很遠(yuǎn) （ 如果束縛于嚴(yán)格的限制的框架上 ， 這將是不可能的 ） 。 微積分不僅使用了函數(shù)概念，還引入了兩個(gè)全新的且更為復(fù)雜的概念：微分和積分。 微分與積分是分析中的兩種基本的極限過(guò)程 。 然而 ， 微積分的系統(tǒng)發(fā)展是在十七世紀(jì)才開(kāi)始的 ， 通常認(rèn)為是牛頓和萊布尼茨兩位偉大的科學(xué)先驅(qū)的創(chuàng)造 。 公正的歷史評(píng)價(jià) ， 是不能把創(chuàng)建微積分歸功于一兩個(gè)人的偶然的或不可思議的靈感的 。 事實(shí)上 ， 牛頓的老師巴羅 ， 就曾經(jīng)幾乎充分認(rèn)識(shí)到微分與積分之間的互逆關(guān)系 。 如果我們考慮用小球下落中時(shí)間間隔來(lái)代替時(shí)刻 ， 用它在這一段時(shí)間間隔內(nèi)下降的距離除以所用時(shí)間 ， 就得到這一間隔中小球的平均速度 。 顯然 ， 時(shí)間間隔越短 ， 計(jì)算出來(lái)的平均速度就越接近第四秒時(shí)的速度 。 這個(gè)數(shù)就是要求的小球在第四秒時(shí)第瞬時(shí)速度 。 小球下落的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用下面的公式描述： )( 16 2 英尺td ? 費(fèi)馬所在時(shí)代用的是英制單位 , 2 5 6416 4 2 ???? dt 時(shí)，當(dāng)設(shè)任意一個(gè)時(shí)間增量是 h ， 在第（ 4 + h） 秒時(shí)， 小球會(huì)下降 256 英尺加上距離增量 k : 16128256)4(16256 22 hhhk ??????即 16128 2hhk ??在 h 秒內(nèi)（時(shí)間間隔）的平均速度為 161 2 8161 2 82hh hhhk ???? 幸好費(fèi)馬作了這個(gè)現(xiàn)在看來(lái)并不合理的除法運(yùn)算， …… 令 h = 0 ， 得到小球在第四秒時(shí)的下落速度 128??d ) ( 是牛頓發(fā)明的記號(hào)?d? 費(fèi)馬推導(dǎo)的問(wèn)題所在 0 的運(yùn)算。只有當(dāng) ?h這樣就不能令 h = 0 而得出結(jié)論。 費(fèi)馬一直沒(méi)能證明他所做的這些 ， 也沒(méi)有把這項(xiàng)工作非常深入地進(jìn)行下去 ， 但他堅(jiān)信最終可以得到一個(gè)合理的幾何證明 。 費(fèi)馬推導(dǎo)的問(wèn)題所在 這里的問(wèn)題是 ， 當(dāng)把非均勻變化的問(wèn)題看成均勻變化時(shí) ， 能表示為兩個(gè)量的商的形式 ， 則此時(shí)處理非均勻變化問(wèn)題 ， 可以采用 …… ？？？ 用什么方法？我們以后再慢慢講。 古希臘人研究過(guò)的面積問(wèn)題 2 軸與坐標(biāo)軸計(jì)算拋物線(xiàn) xxy ?O xy12xy ?S 10 間所圍成的面積。 如何求此面積的精確值？ 17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們解決這個(gè)問(wèn)題的方法是讓 n 變成無(wú)窮大 。 它是一個(gè)數(shù)嗎 ？ 如果是 ， 怎么對(duì)它進(jìn)行計(jì)算呢 ？ 如果它不是一個(gè)數(shù) ， 那它又是什么呢 ？ 費(fèi)馬在推導(dǎo)求面積的公式時(shí) ， 發(fā)現(xiàn)當(dāng) n 為無(wú)窮大時(shí) ， 包含的 1/n 和 1/n2 項(xiàng)可以忽略不計(jì) 。 這個(gè)終結(jié)不可分量到底是什么 ？ 當(dāng)時(shí)沒(méi)有人能將它說(shuō)清楚 。 終結(jié)不可分量后來(lái)發(fā)展為無(wú)窮小量。 它是積分學(xué)的問(wèn)題。 甚至在巴羅的一本書(shū)里就能看到求切線(xiàn)的方法 、 兩個(gè)函數(shù)的積和商的微分定理 、 x 的冪的微分 、 求曲線(xiàn)的長(zhǎng)度 、定積分中的變量代換 、 隱函數(shù)的微分定理等等 。 牛頓與萊布尼茨 數(shù)學(xué)的真正劃分不是分為幾何和算術(shù) ， 而是分成普遍的和特殊的 。 1. 牛頓（ Newton） 數(shù)學(xué)和科學(xué)中的巨大進(jìn)展 ， 幾乎總是建立在幾百年中作出一點(diǎn)一滴貢獻(xiàn)的許多人的工作之上的 。 在微積分中 ， 這個(gè)人就是牛頓 。 生于英格蘭 林肯郡伍爾索普 的一個(gè)小村莊里 。 少年時(shí)期 ， 牛頓在一個(gè)低標(biāo)準(zhǔn)的地方學(xué)校接受教育 ， 而且是一個(gè)除了對(duì)機(jī)械有興趣以外 ， 沒(méi)有特殊才華的青年人 。 1665年牛頓剛結(jié)束他的大學(xué)課程 ， 學(xué)校就因?yàn)閭惗氐貐^(qū)鼠疫流行而關(guān)閉 。 1667年牛頓回到劍橋 ， 獲得碩士學(xué)位 ， 成為三一學(xué)院的研究員 。 他不是一個(gè)成功的教師 ， 聽(tīng)他課的學(xué)生很少 。 牛頓涉獵的學(xué)科很多 ， 知識(shí)面很廣 。 ） 他在數(shù)學(xué)上以創(chuàng)建微積分而著稱(chēng) ， 其流數(shù)法 （ 即物質(zhì)的變化率 ） 始于 1665年 ， 系統(tǒng)敘述于 《 流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù) 》 （ 1671年完成 ， 1736年出版 ） ， 首先發(fā)表在 《 自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理 》 （ 1687） 中 。 討論的基本問(wèn)題是：已知流量間的關(guān)系 ， 求它們的流數(shù)的關(guān)系以及逆運(yùn)算 ， 確立了微分與積分這兩類(lèi)運(yùn)算的互逆關(guān)系 ， 即微積分基本定理 。 他也研究微分方程 、 隱函數(shù)微分 、 曲線(xiàn)切線(xiàn) 、 曲線(xiàn)曲率 、曲線(xiàn)的拐點(diǎn)和曲線(xiàn)長(zhǎng)度等 。 他在物理學(xué)上發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律 （ 16661684年 ） ， 并據(jù)此指出行星運(yùn)行成橢圓軌道的原因 。 他在哲學(xué)上深信物質(zhì) 、 運(yùn)動(dòng) 、 空間和時(shí)間的客觀(guān)存在性 ， 堅(jiān)持用觀(guān)察和實(shí)驗(yàn)方法發(fā)現(xiàn)自然界的規(guī)律 ，力求用數(shù)學(xué)定量方法表述的定律說(shuō)明自然現(xiàn)象 ， 其科學(xué)研究方法支配后世近 300年的物理學(xué)研究 。 他放棄研究工作 ， 于 1695年接受任命 ， 擔(dān)任大英造幣廠(chǎng)監(jiān)察 。 牛頓對(duì)于他一生的成就 ， 一直是十分謙虛的 。 他研究法律 ， 在答辯了關(guān)于邏輯的論文后 ， 得到哲學(xué)學(xué)士學(xué)位 。 1671年 ， 他制造了他的計(jì)算機(jī) 。 這次訪(fǎng)問(wèn)使他同數(shù)學(xué)家和科學(xué)家有了接觸 ， 激起了他對(duì)數(shù)學(xué)的興趣 。 1673年他到倫敦 ， 遇到另一些數(shù)學(xué)家和科學(xué)家 ， 促使他更加深入地鉆研數(shù)學(xué) 。 除了是外交官外 ， 萊布尼茨還是哲學(xué)家 、 法學(xué)家 、 歷史學(xué)家 、 語(yǔ)言學(xué)家和先驅(qū)的地質(zhì)學(xué)家 ， 他在邏輯學(xué) 、 力學(xué) 、 數(shù)學(xué) 、 流體靜力學(xué) 、 氣體學(xué) 、 航海學(xué)和計(jì)算機(jī)方面做了重要工作 。 他用通信保持和人們的接觸 ， 最遠(yuǎn)的到錫蘭 （ Ceylon） 和中國(guó) 。 萊布尼茨從 1684年開(kāi)始發(fā)表論文 ， 但他的許多成