【正文】 近似表示為 來(lái)計(jì)算，顯然這種用近似計(jì)算的方法來(lái)估計(jì)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望及協(xié)方差函數(shù)要求 n很大，即樣本函數(shù)xk(t)很多。 ? 這里提出一個(gè)問(wèn)題：怎樣表示一個(gè)樣本函數(shù)如x1(t)的均值呢？我們以下式來(lái)表示 顯然 x1(t)不同其積分結(jié)果一般不同。此時(shí)顯然用一個(gè)樣本函數(shù)的數(shù)字特征如 ，近似 是不正確的。 221( ) l im ( )2TTTx t x t d tT???? ?1( ) l im ( )2Tnn TTx t x t d tT ???? ?12( ) ( ) ( )nx t x t x t? ? ?()nxt( ) [ ( ) ] , 1 , 2nx t E X t n??1( ) ( ) l im ( ) ( )2TTTX t X t X t X t d tT?? ???? ? ??? 注意：定義中 一般都是隨機(jī)變量（常數(shù)可看作特殊的隨機(jī)變量）。反之，若已知 X(t)的均值各態(tài)歷程，則可用一個(gè)樣本函數(shù)的均值作為過(guò)程 X(t)的均值。 11( ) l im ( )2TTtx t x t d tT ???? ?[ ( )]E X t1[ ( ) ] l im ( ) , 1 , 2 ,2TnTTE X t x t d t nT ????? ?( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( )XX t X t E X t X t R? ? ?? ? ? ? 這里若 X(t)的協(xié)方差函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)，就是指我們可用過(guò)程 X(t)的一個(gè)樣本函數(shù)、 xn(t)的時(shí)間相關(guān)函數(shù) 即 作為過(guò)程的相關(guān)函數(shù)。 ? 綜上所述，如果 X(t)是各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，則必為平穩(wěn)過(guò)程，此時(shí)可用過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)的數(shù)字特征作為過(guò)程的數(shù)字特征近似。 ① 求證 X(t)是寬平穩(wěn)過(guò)程； ② 該過(guò)程是否是各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。 ② 01( ) l im c o s ( )2TTTX t A t d tT ????????00c o s sinl im 0TATT????????( , )XR t t ??顯然由①、②結(jié)果再由隨機(jī)過(guò)程各態(tài)歷經(jīng)定義知 ∴ X(t)為寬各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。 同理當(dāng) X(t)， Y(t)聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)時(shí)，可用它們的一對(duì)樣本函數(shù)的數(shù)字特征作為 X(t)， Y(t)的數(shù)字特征近似。通過(guò)對(duì)平穩(wěn)過(guò)程的分析研究，我們給出如下的幾個(gè)判定定理。 ? ?2 201l im 1 ( ) 02T XXT R M dTT ? ???? ??? ? ??????()XR ? XM?例 已知隨機(jī)電報(bào)信號(hào) X(t)，它的 ， ，問(wèn) X(t)是否均值各態(tài)歷經(jīng)。 ?性質(zhì) 平衡過(guò)程 X(t)的協(xié)方差函數(shù)具備各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是 式中 平穩(wěn)過(guò)程 X(t)和 Y(t)的互相關(guān)函數(shù)具有聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件（ ）式相似，只是將（ ）式中相應(yīng)的協(xié)方差函數(shù)改為互相關(guān)函數(shù)即可。 ? 最后順便說(shuō)明，對(duì)于許多實(shí)際問(wèn)題，如果要從理論上判定一個(gè)過(guò)程是否為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，往往是比較困難。 ? 在實(shí)際應(yīng)用一般不可能給出隨機(jī)過(guò)程 X(t)的樣本函數(shù) x(t)的表達(dá)式，因此，確定各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望、協(xié)方差函數(shù)，有兩種方法： ? 第一種方法用模擬協(xié)方差分析儀，自動(dòng)畫(huà)出協(xié)方差曲線。它的工作原理如圖 。 如圖 [0， T]等分為 N個(gè)長(zhǎng)為 的小區(qū)間，再在時(shí)刻 ， 取樣，得 N個(gè)函數(shù)值 。類(lèi)似可以寫(xiě)出在 時(shí)的協(xié)方差函數(shù)估計(jì)式（ ）式，由這個(gè)估計(jì)式可算出協(xié)方差函數(shù)的一系列近似值，從而可作出協(xié)方差函數(shù)的近似圖形，見(jiàn)圖 。 111[ ( ) ] ( ) l im ( )2NTkTTkE X t x t X t d t xTN??? ?? ? ? ??1( ) ( ) ( ) l im ( ) ( )2TX TTR X t X t X t X t d rT? ? ????? ? ? ??11( ) ,0 , 1 , 2 , , ( )NrX r k k rkR x xNrr m m n??????????? 1. 平穩(wěn)過(guò)程協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì) 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，它的基本數(shù)字特征是數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)，但是當(dāng)隨機(jī)過(guò)程為平穩(wěn)過(guò)程時(shí)，它的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)常數(shù)，經(jīng)中心化后可以變?yōu)榱?，所以?dāng)過(guò)程 X(t)平穩(wěn)后其基本數(shù)字特征實(shí)際上就是相關(guān)函數(shù)。為此下面我們專(zhuān)門(mén)研究一下平穩(wěn)過(guò)程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)。 協(xié)方差函數(shù)和功率譜密度 ?性質(zhì) ?證 ∵ ?當(dāng) ， ?即平穩(wěn)過(guò)程的均方值可自由相關(guān)函數(shù) 得到。 ?同理 ?證 ∵ 2( 0 ) [ ( ) ]XR E X t?( ) [ ( ) ( ) ]XR E X t X t????2( 0 ) [ ( ) ]XR E X t?0??()XR ??令 =0( ) ( )XXRR????( ) ( )XXCC????( ) [ ( ) ( ) ] , ( )[ ( ) ( ) ] ,XXR E X t X t RE X t X t u t? ? ???? ? ?? ? ? ?? 性質(zhì) 平穩(wěn)過(guò)程 X(t)協(xié)方差函數(shù)的最大點(diǎn)在 處 ，即 ?證 ∵ 任何非負(fù)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望恒為非負(fù)值， 的平方均值，即 ?∴ ?∴ ?∴ ? 又 ∵ X(t)平穩(wěn)， ∴ ?∴ 0? ?(0 ) | ( ) |XXRR ?≥( ) ( )X t X t ???2{ | ( ) ( ) | } 0E X t X t ??? ≥22[ ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ]E X t X t X t X t??? ? ? ? ≥ 0[ ( ) ] 2 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] 0E X t E X t X t E X t??? ? ? ? ≥22[ ( ) ] 2 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] 0E X t E X t X t E X t??? ? ? ? ≥[ ( ) ( ) ] ( )XE X t X t R????22[ ( ) ] 2 ( ) [ ( ) ] 0xE X t R E X t??? ? ? ?? ∵ 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一維率密度函數(shù)不隨時(shí)間的平緩而變化，即 ? ∴ ? ∴ ? ∴ ? 同理 22[ ( ) ] ( , )XE X t x P x t d x??????? ? ??( 。 )XXP x t P x t ???22[ ( ) ] [ ( ) ] ( 0 )XE X t E X t R?? ? ?2 (0 ) 2 ( ) 0XXRR ?? ≥( 0 )XXRR ?≥ | ( )|( 0 )XXCC ?≥ | ( )|22[ ( ) ] ( , )XE X t x P x t d x????? ??對(duì)于 ?性質(zhì) 周期平穩(wěn)過(guò)程 X(t)的協(xié)方差函數(shù)是周期函數(shù)，且與周期平穩(wěn)地程的周期相同，即 ?證 設(shè) ?∵ ?性質(zhì) 非周期平穩(wěn)過(guò)程 X(t)的協(xié)方差函數(shù)滿(mǎn)足 ( ) ( )XXR t T R ???( ) ( )X t X t T??( ) [ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ] ( )xXR T E X t X t TE X t X t R????? ? ? ?? ? ?2l i m ( ) ( )X X XR R M? ??? ? ? ?222[ ( ) ] ( 0 ) ( )[ ( ) ] [ ( ) ]X X XD X t R RE X t E X t? ? ? ? ???? 例 非周期平穩(wěn)過(guò)程 X(t)的協(xié)方差函數(shù)。 ?解 ∵ ?∴ ?∴ ? 為了方便表征隨機(jī)過(guò)程在兩個(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)之間的線性關(guān)聯(lián)程度，我們給出協(xié)方差系定義： ? 定義協(xié)方差系數(shù)： 29( ) 1 613XR ? ??? ?[ ( ) ] , [ ( ) ]E X t D X t229l im ( ) l im 1 6 1 61XXMR ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ??????4XM ??2 ( 0 ) ( ) 2 5 1 6 9X X XRR? ? ? ? ? ? ?222( ) ( )() X X XXXXC R M?????????? 特別取 ， ? 一般有 ? 顯然，協(xié)方差系數(shù)越接近 1，狀態(tài)之間的關(guān)聯(lián)程度越高。因此相關(guān)系數(shù)可直觀地說(shuō)明隨機(jī)過(guò)程不同兩個(gè)狀態(tài)的協(xié)方差程度的強(qiáng)弱或隨機(jī)過(guò)程起伏的快慢。 ? 一般相關(guān)時(shí)間的定義有兩種，一種是把滿(mǎn)足時(shí)的 作為相關(guān)時(shí)間 。另一種定義相關(guān)時(shí)間間隔大于的兩相時(shí)刻的取值不相關(guān)。因此有 ()X??[1, ]?? 0 (0 )X???0 0 ()X d? ? ? ???? ?圖 協(xié)方差系數(shù) 2. 隨機(jī)過(guò)程協(xié)方差函數(shù)性質(zhì) ?設(shè) 為兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程。 性質(zhì) 互相關(guān)函數(shù)的幅度平方滿(mǎn)足 同理，互協(xié)方差函數(shù)滿(mǎn)足 ( ), ( )X t Y t()XYR ?()XYC ?2( ) ( 0 ) ( 0 )X Y X YR R R? ≤2 22( ) ( 0 ) ( 0 )X Y X Y X YC C C? ? ??≤? 性質(zhì) 互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)的幅度滿(mǎn)足 ? 同理 ? 性質(zhì) 互相關(guān)系數(shù) ? 為了研究?jī)蓚€(gè)平穩(wěn)過(guò)程的相互關(guān)聯(lián)程度，我們引入互相關(guān)系定義 ? 定義互相關(guān)系數(shù)： ? 可以證明 ? ，且當(dāng) 時(shí) 互不相關(guān)。 ? 2. 考慮一個(gè)具有隨機(jī)振幅的正弦波，它由如下定義的隨機(jī)過(guò)程描述 ? 其中， A、 B為兩