高三數(shù)學(xué)三角函數(shù)的最值-在線瀏覽
2025-01-12 08:51本頁面
【正文】 0, ], 2 ? ∴ 2x+ ?[ , ]. 4 ? 4 ? 4 5? ∴ 當(dāng) 2x+ = , 即 x=0 時 , f(x) 取得最大值 1。 2 ? {x | x=2k?+ , k?Z}. 2 ? 當(dāng) t=3 時 , ymax=f(t)max= , 此時 , sinx=1, x 的集合為 : 8 3 y=sin2x+acosx+ a (0≤ x≤ )的最大值為 1, 求 a的值 . 2 ? 5 8 3 2 解 : 由已知 y=cos2x+acosx+ a 5 8 1 2 =(cosx )2+ + a . 4 a2 a 2 5 8 1 2 令 t=cosx, 則 y=(t )2+ + a (0≤ t≤ 1). 4 a2 a 2 5 8 1 2 討論如下 : ② 若 0≤ ≤ 1, 則 t= 時 , 由題設(shè) ymax= + a =1. a 2 a 2 4 a2 5 8 1 2 解得 a=4(舍去 )或 a= . 3 2 解得 a= (舍去 ). 5 12 ① 若 0, 則 t=0 時 , 由題設(shè) ymax= a =1. 5 8 1 2 a 2 ③ 若 1, 則 t=1 時 , 由題設(shè) ymax= a =1. 3 2 a 2 8 13 解得 a= (舍去 ). 13 20 綜上所述 a= . 3 2 4sin2xcos4xa=0 恒有實數(shù)解 , 求 a 的取值范圍 . 解法 1 從方程有解的角度考慮 . 原方程即為 : 2cos22x+2cos2x3+a=0. 令 t=cos2x, 則 |t|≤ 1, 且 2t2+2t3+a=0 恒有解 . 解得 : 1≤ a≤ . 7 2 解法 2 從二次函數(shù)圖象及性質(zhì)考慮 . 問題轉(zhuǎn)化為 : “a 為何值時 , f(t)=2t2+2t+a3 的圖象與橫軸至少有一個交點的橫坐標(biāo)在 [1, 1] 內(nèi) .” ∵ f(t) 圖象的對稱軸為直線 t= , 1 2 △ =4(72a)≥ 0, 2+ 4(72a) 4 | |≤ 1, ∴ △ =4(72a)≥ 0, 2 4(72a) 4 | |≤ 1, 或 解得 : 1≤ a≤ . 7 2 △ ≥ 0, ∴ f(1)≥ 0, f(1)0. f(1)≥ 0, 或 4sin2xcos4xa=0 恒有實數(shù)解 , 求 a 的取值范圍 . 解法 3 正難則反 , 從反面考慮 . ∵ f(t) 圖象的對稱軸為直線 t= , 1 2 若方程 f(t)=2t2+2t+a3=0 的兩根均在 [1, 1] 之外 , 則 7 2 當(dāng) △ =4(72a)≥ 0, 即 a≤ 時 , ∴ f(1)0. 解得 : a1. 故滿足條件的 a 的取值范圍是 [1, ]. 7 2 解法 4 從分離參數(shù)的角度考慮 . 原方程即為 : a=2cos22x2cos2x+3 7 2 =2(cos2x+ )2+ . 1 2 ∵ |cos2x|≤ 1, ∴ 1≤ a≤ . 7 2 課后練習(xí) f(x)= 的最小正周期、最大值和最小值 . sin4x+cos4x+sin2xcos2x 2sin2x (sin2x+cos2x)2sin2xcos2x 22sinxcosx 解 : 由已知 f(x)= 1sin2xcos2x 2(1sinxcosx) == (1+sinxcosx) 1 2 1 2 = sin2x+ . 1 4 ∴ f(x) 的最小正周期為 ?. ∴ 當(dāng)
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