高三數學三角函數的最值-wenkub.com
2024-11-05 08:51 本頁面
【正文】 4 a 1 2 解得 a=3 或 2. 均不合題意 , 舍去 。 6 ? 3 ? 6 ? (2)由 2x+ = 得 x= 2 ? 6 ? ?[0, ], 2 ? 故當 x= 時 , f(x) 取最大值 3+a. 6 ? 由題設 3+a=4, ∴ a=1. (3)在 (2) 的條件下 , f(x)=2sin(2x+ )+2. 6 ? 2 1 ∵ f(x)=1, ∴ sin(2x+ )= . 6 ? 又由題設 2x+ ?[ ?, ?], 6 ? 6 11 6 13 ∴ 2x+ = 或 或 或 ?. 6 ? 6 ? 6 5? 6 7? 6 11 ∴ x= , , , . 2 ? 6 ? 2 ? 6 5? 6 ? 2 ? 6 5? 故所求集合為 { , , , }. 2 ? f(x)=cos2x+asinx (0≤ x≤ ). (1)用 a 表示 f(x) 的最大值 M(a)。 (2)確定 P 的取值范圍 , 并求出 P 的最大值和最小值 . 解 : (1)∵ t=sin?cos?, ∴ t2=12sin?cos?=1sin2?. ∴ sin2?=1t2. ∴ P=1t2+t. (2)t=sin?cos?= 2 sin(? ). 4 ? ∵ 0≤ ?≤ ?, ∴ ≤ ? ≤ , 4 ? 4 ? 4 3? 即 P=t2+t+1. ∴ ≤ sin(? )≤ 1. 2 2 4 ? ∴ 1≤ t≤ 2 . ∵ P=t2+t+1 的圖象是開口向下的拋物線 , 其對稱軸為 1 2 直線 t= , 1 2 ∴ 當 t= 時 , P 取最大值 。 2 2 4 ? 1 2 若 a 2 , 則當 t= 2 , 即 x=2k?+ (k?Z) 時 , 4 5? 1 2 f(x) 取最小值 a2 2 a+ . 令 t=sinx+cosx, 則 t= 2 cos(x ) 且 t?[ 2 , 2 ], 4 ? ? ?[0, ], 且 cos2?+2msin?2m20 恒成立 , 求 m 的取值范圍 . 2 ? 解法 1 由已知 0≤ sin?≤ 1 且 1sin2?+2msin?2m20 恒成立 . 令 t=sin?, 則 0≤ t≤ 1 且 1t2+2mt2m20 恒成立 . 即 f(t)=t22mt+2m+1=(tm)2m2+2m+10 對 t?[0, 1] 恒成立 . 故可討論如下 : (1)若 m0, 則 f(0)0. 即 2m+10. 解得 m , 1 2 (2)若 0≤ m≤ 1, 則 f(m)0. 即 m2+2m+10. 亦即 m22m10. 解得 : 1 2m1+ 2 , ∴ 0≤ m≤ 1。 2 ? {x | x=2k?+ , k?Z}. 2 ? 當 t=3 時 , ymax=f(t)max= , 此時 , sinx=1, x 的集合為 : 8 3 y=sin2x+acosx+ a (0≤ x≤ )的最大值為 1, 求 a的值 . 2 ? 5 8 3 2 解 : 由已知 y=cos2x+acosx+ a 5 8 1 2 =(cosx )2+ + a . 4 a2 a 2 5 8 1 2 令 t=cosx, 則 y=(t )2+ + a (0≤ t≤ 1). 4 a2 a 2 5 8 1 2 討論如下 : ② 若 0≤ ≤ 1, 則 t= 時 , 由題設 ymax= + a =1. a 2 a 2 4 a2 5 8 1 2 解得 a=4(舍去 )或 a= . 3 2 解得 a= (舍去 ).
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