線性代數(shù)第六章二次型試題及答案-在線瀏覽
2024-08-08 20:17本頁面
【正文】 … 1 2 … n 是可逆矩陣,:記，則，從而。因?yàn)镼是正交矩陣，則，即經(jīng)過二次型變換，二次型矩陣不僅合同而且相似。（3）作正交變換，即可將二次型化為只含平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)型四、配方法(略,見例).五、慣性定理和慣性指數(shù)定理4：若二次型經(jīng)過可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，則標(biāo)準(zhǔn)型中所含平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)等于二次型的秩。性質(zhì)1：兩個(gè)二次型可以用可逆線性變量替換互相轉(zhuǎn)化的充分必要條件為它們的正,負(fù)慣性指數(shù)都相等.(即兩個(gè)實(shí)對稱矩陣合同的充分必要條件為它們的正,負(fù)慣性指數(shù)都相等.)性質(zhì)2：由正交變換法看出, 實(shí)對稱矩陣A的正(負(fù))慣性指數(shù)就是它的正(負(fù))特征值的個(gè)數(shù).六、正定二次型和正定矩陣定義1：如果當(dāng)x1,x2,…,xn不全為0時(shí),有f(x1,x2,…,xn)0，稱二次型f(x1,x2,…,xn)稱為正定二次型如果實(shí)對稱矩陣A所決定的二次型正定,則稱A為正定矩陣, 于是A為正定矩陣也就是滿足性質(zhì):當(dāng)X185。二次型的正定性是在可逆線性變量替換中保持不變的. 即實(shí)對稱矩陣的正定性在合同變換時(shí)保持不變.(2)性質(zhì)與判斷實(shí)對稱矩陣A正定219。對任意可逆矩陣C，正定（即合同的矩陣，有相同的正定性）。A的正慣性指數(shù)等于其階數(shù)n.219。A的順序主子式全大于0.順序主子式:一個(gè)n階矩陣有n個(gè)順序主子式,第r個(gè)(或稱r階)順序主子式即A的左上角的r階矩陣Ar的行列式|Ar|.判斷正定性的常用方法: 順序主子式法,特征值法,定義法.A不可逆Ax=0有非零解0是A的特征值A(chǔ)的列（行）向量組線性相關(guān)是階可逆矩陣：（是非奇異矩陣）；（是滿秩矩陣）的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組只有零解；，總有唯一解；與等價(jià)；可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積；的特征值全不為0；是正定矩陣；β可由α1，α2,…，αn惟一線性表示β=x1a1+x2α2+…+xnαnAx=β有惟一解x=(x1,x2,…,xn)T, A=(α1, α2,…, αn)r(A)=r(Aβ)=n|A|≠0Ax=0只有零解λ=0不是A的特征值A(chǔ)B=0A(b1,b2,…, bs)=0, B=( b1, b2,…, bs)Abj=0, j=1,2,…,sb1,b2,…,bs均為Ax=0的解(r(A)+r(B)≤n)若bj≠0且A為n階方陣時(shí)，bj為對應(yīng)特征值λj=0的特征向量A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān)。例 題一、概念型題 2題答案：。答案：.=Py可化成標(biāo)
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