線性代數(shù)第六章二次型試題及答案-閱讀頁
2025-07-13 20:17本頁面
【正文】 準(zhǔn)型，則a =解： ，（2，1，2）T是A的特征向量，那么經(jīng)正交變換后二次型的標(biāo)準(zhǔn)型是解：二次型對應(yīng)的矩陣A為： 因為（2，1，2）T是A的特征向量，所以，二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并判斷正、負(fù)慣性指數(shù)的個數(shù)，然后寫出其規(guī)范形。 解：二次型的矩陣：，因為，（2） 因為它們已經(jīng)兩兩正交，所以只需要單位化。 二次型的矩陣A為：， 得a=0這里， 可求出其特征值為解 ，得特征向量為：解 ，得特征向量為：由于已經(jīng)正交，直接將，單位化，得：令，即為所求的正交變換矩陣，由x=Qy，可化原二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：=（III） 由=0，得（k為任意常數(shù)）.從而所求解為：x=Qy=，其中c為任意常數(shù)。Ⅱ） 若規(guī)范形為，說明有兩個特征值為正，一個為0。解:，又因為是A的特征向量，∴設(shè)所對應(yīng)的特征值為，有。 ，則。因為已經(jīng)正交，所以只需要把它們單位化。6.解： ，因為3個向量已經(jīng)正交，只需要將其單位化三、關(guān)于正定的判斷解：，用順序主子式判斷大于0，所以是正定的。 ， 若同時全為0，即齊次線性方程組只有0解，此時 即時，三個平方項不全為0，二次型正定。證明：，所以是對稱矩陣。（2）因為A是可逆矩陣，所以，當(dāng)時，只有0解。，B為實矩陣，為B的轉(zhuǎn)置矩陣，試證：為正定矩陣的充分必要條件是。，E為n階單位矩陣，已知矩陣，試證：當(dāng)時，矩陣B為正定矩陣。矩陣的合同、相似、等價都有自反性，對稱性，傳遞性。相似的實對稱矩陣一定合同，但合同的對稱矩陣不一定相似。對任意實對稱矩陣A都存在正交矩陣P，使，即任意實對稱矩陣都和對角陣即相似又合同。相似的矩陣一定有相等的特征值，但是特征值相等的矩陣不一定等價。特征值相同的普通矩陣A和B可能相似，也可能不相似。若一個能對角化，一個不能對角化，一定不相似。 例題：已知矩陣A和B，判斷能否相似， A和B有相同的特征值，A能對角化，B不能對角化，所以A和B不相似。，B=，判斷A與B是否等價、相似、合同。解：根據(jù)指示點，兩個實對稱矩陣若相似，則必合同，又r(A)=1，其特征值為，顯然A、B為實對稱矩陣，且A~B，于是A與B也合同。, , 則A與B (A)合同, 且相似.(B) 合同, 但不相似 (C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似 解：，特征值不同，不相似，但是有相同的正負(fù)慣性指數(shù)。9
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